Resumo das Variáveis Discretas para ISS-BH – Estatística

Olá, pessoal. Tudo certo? No artigo de hoje veremos o Resumo das Variáveis Discretas para ISS-BH.

Trata-se de um tema relativamente bem cobrado em prova, principalmente a parte da covariância.

Sem mais delongas, vamos lá.

Conceitos Gerais

Iniciemos o Resumo das Variáveis Discretas para ISS-BH pelos conceitos gerais.

Estatística Inferencial: trata-se do estudo de parte do todo (amostra) para tirar conclusões (inferência) desse todo (população).

Assim, a característica numérica da população chamamos de parâmetro populacional enquanto a medida da amostra é o parâmetro de estimativa.

Como a inferência não é exata, afinal depende da amostra, dizemos que o resultado são variáveis aleatórias.

Variáveis Aleatórias:

• Discretas: enumerável (finito ou não), possível atribuir probabilidade a um resultado específico.
• Contínuas: valor dentro de um intervalo (não enumerável), logo não se atribui a probabilidade para um resultado específico.

Variáveis Aleatórias Discretas

Dizemos que a Variação Aleatória Discreta pode atribuir probabilidade a um resultado em específico, assim vamos a função que possibilita esse feito.

Função de probabilidade: atribui probabilidade a um resultado de uma variável aleatória.

Condições:

• Não haver valores negativos;
• Somatório de todos os resultados possíveis ser igual a 1.

Exemplo: (2014 – Fundação João Pinheiro/MG) A fórmula P(x) = 3k/x representa a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória, para x = 1,7,9. Portanto P(1 ≤ x ≤ 7) é igual a

Lembre-se que a somatória deve ser igual a 1 (100%), assim:

P( x = 1) + P( x = 7) + P( x = 9) = 1

Substituindo o valor de x

3k/1 + 3k/7 + 3k/9 = 1

Fazendo MMC.

237k/63 = 1

Logo,

K = 63/237

E considerando que,

Logo,

P = 3/1 (63/237) + 3/7 (63/237)

P = 216/237

Também é importante conhecer a distribuição de probabilidade.

Distribuição de Probabilidade: conjunto dos pares variável e sua probabilidade.

Se duas variáveis têm a mesma distribuição de probabilidade, dizemos que elas são independentes e identicamente distribuídas (i.i.d ou IID)

Esperança

Dando continuidade ao Resumo das Variáveis discretas para ISS-BH, agora vamos ver a Esperança matemática para a distribuição aleatória discreta.  

Esperança Matemática (expectância, valor esperado ou média)

Exemplo: (2017 – Secretaria de Saúde/RO) Uma variável aleatória discreta X tem valores possíveis 0, 1, 2 e 3 com probabilidades respectivamente iguais a 0,2, 0,4, 0,3 e 0,1. A média de X é igual a

Média = (0 x 0,2) + (1 x 0,4) + (2 x 0,3) + (3 x 0,1)

Média = 0 + 0,4 + 0,6 + 0,3

Média = 1,3

Assim, ficamos com as propriedades da esperança.

Moda e Mediana

Vamos continuar o Resumo das Variáveis discretas para ISS-BH falando sobre a Moda e Mediana.

Em termos gerais a moda é o valor de maior frequência, como estamos trabalhando com a variável aleatória discreta, será a mais provável (com maior probabilidade)

Entretanto não confunda, pois a moda é um valor da variável aleatória e não a sua probabilidade.

Já a mediana será o valor que separa a distribuição pela metade, em outros termos, o valor de x para o qual a função de distribuição acumulada seja 50%.

Variância

Agora vamos ver a fórmula para o cálculo da Variância.

Lembre-se também da “média dos quadrados menos média ao quadrado”

Exemplo: (2017 – DPE/PR) Seja X uma variável aleatória discreta, sua esperança e variância são respectivamente:

Esperança = (1 x 0,42) + (2 x 0,25) + (3 x 0,18) + (4 x 0,08) + (5 x 0,07)

Esperança = 0,42 + 0,5 + 0,54 + 0,32 + 0,35

Esperança = 2,13

Agora vamos calcular a variância pelas duas formas.

• Primeira fórmula:

VAR = (1 – 2,13)² x 0,42 + (2 – 2,13)² x 0,25 + (3 – 2,13)² x 0,18 + (4 – 2,13)² x 0,08 + (5 – 2,13)² x 0,07

VAR = [(-1,13)² x 0,42] + [(0,13)² x 0,25] + [(0,87)² x 0,18] + [(1,87)² x 0,08] + [(2,87)² x 0,07]

VAR = 0,536298 + 0,004225 + 0,136242 + 0,279752 + 0,576583

VAR = 1,5331

• Segunda fórmula:

E(x²) = (1² x 0,42) + (2² x 0,25) + (3² x 0,18) + (4² x 0,08) + (5² x 0,07)

E(x²) = 0,42 + 1 + 1,62 + 1,28 + 1,75

E(x²) = 6,07

VAR = 6,07 – 2,13²

VAR = 1,5331

Ainda que não exista uma regra “absoluta”, a segunda forma de calcular costuma ser mais fácil/prática.

Além disso, vejamos as Propriedades da Variância.

Covariância e Correlação

A Covariância e a Correlação estão relacionadas à força da relação entre duas variáveis.

Covariância

Trata-se da média dos produtos menos o produto das médias.

Para que saibamos a “força” dessa relação, devemos encontrar um coeficiente.

Coeficiente de correlação linear

Trata-se da covariância entre as duas variáveis, dividido pelo desvio padrão.

Esse valor poderá variar de -1 até +1. Temos que:

• p = -1 (correlação linear perfeita negativa)
• p < 0 (correlação linear negativa)
• p > 0 (correlação linear positiva).
• p = 1 (correlação linear perfeita positiva).

Atenção: o coeficiente de correlação linear de variáveis (p) independentes é igual a 0, entretanto não significa que necessariamente que se p for igual a 0 as variáveis são independentes.  

Exemplo: (CESPE/2016 – TCE/PR) Se satisfação no trabalho e saúde no trabalho forem indicadores com variâncias populacionais iguais a 8 e 2, respectivamente, e se a covariância populacional entre esses indicadores for igual a 3, então a correlação populacional entre satisfação no trabalho e saúde no trabalho será igual a

p = 3 / sqrt 8 x sqrt 2

p = 3 /4

p = 0,75

Propriedades da Covariância

Vamos finalizar o Resumo das Variáveis discretas para ISS-BH vendo sobre as Propriedades da Covariância.

• Cov (X, Y) = Cov (Y, X) -> A covariância é uma medida simétrica
• Cov (X, Y) = V(X) -> A covariância da mesma variável é igual a sua variância
• Cov (k, X) = 0 -> A covariância é de uma constante é zero
• Cov (X +- a, Y +-b) = Cov (X, Y) -> A covariância não é alterada por soma ou subtração de constantes
• Cov (X + Y, Z) = Cov (X, Z) + Cov (Y, Z)
• Cov (kX, Y) = Cov (X, kY) = k Cov (Y, Z) -> a multiplicação de uma constante é igual à constante multiplicado pela covariância

Considerações Finais

Pessoal, chegamos ao final do Resumo das Variáveis Discretas para ISS-BH. Espero que o artigo tenha sido útil para sua revisão.

O tema relacionado a correlação e covariância de fato costuma ser bem complicado, assim aconselhamos que invista nos pdfs e até mesmo em videoaulas para complementar o conteúdo.

Ainda, ressaltamos mais uma vez a importância de praticar por exercícios, assim faça muitas questões pelo nosso sistema de questões.

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Até mais e bons estudos!