Proposições Equivalentes e Lógica Proposicional: Saiba como pode cair!

Neste artigo, o Prof. Brunno Lima comenta questões sobre Proposições Equivalentes e Lógica proposicional.

Olá pessoal! Tudo bem?

Que tal treinarmos com  questões de um dos assuntos mais cobrados pelas bancas? Equivalências e Negações! Nesse artigo deixarei algumas questões da FCC e da VUNESP resolvidas.

Vamos nessa?

01) (FCC) De acordo com a legislação de trânsito, se um motorista dirigir com a habilitação vencida há mais de 30 dias, então ele terá cometido uma infração gravíssima. A partir dessa informação, conclui-se que, necessariamente,

(A) se um motorista tiver cometido uma infração gravíssima, então ele dirigiu com a habilitação vencida há mais de 30 dias.

(B) se um motorista não dirigiu com a habilitação vencida há mais de 30 dias, então ele não cometeu qualquer infração gravíssima.

(C) se um motorista não tiver cometido qualquer infração gravíssima, então ele não dirigiu com a habilitação vencida há mais de 30 dias.

(D) se uma infração de trânsito é classificada como gravíssima, então ela se refere a dirigir com a habilitação vencida há mais de 30 dias.

(E) se uma infração de trânsito não se refere a dirigir com a habilitação vencida há mais de 30 dias, então ela não pode ser classificada como gravíssima.

RESOLUÇÃO:

A questão pede uma equivalência para uma proposição que possui conectivo “se… então…”. O conectivo “se… então…” poderá ser equivalente ao conectivo “ou” ou ao conectivo “se… então…”.

Como precisamos de uma equivalência para o conectivo “se… então…”, podemos nos basear em alguma das regras:

Como todas as alternativas apresentam conectivo “se… então…”, usaremos a segunda regra (contrapositiva). Para isso deveremos, inicialmente, negar as duas partes da proposição “se um motorista dirigir com a habilitação vencida há mais de 30 dias, então ele terá cometido uma infração gravíssima”.

Como a primeira sentença é “Um motorista dirige com a habilitação vencida há mais de 30 dias” sua negação será “Um motorista não dirige com a habilitação vencida há mais de 30 dias” e como a segunda sentença é “ele terá cometido uma infração gravíssima” sua negação será “ele não terá cometido uma infração gravíssima”.

Agora, montamos a condicional trazendo os resultados invertidos, ou seja, no antecedente colocamos a negação da 2ª parte e no consequente colocamos a negação da 1ª parte, obtendo a sentença: “Se um motorista não cometeu uma infração gravíssima, então ele não dirige com a habilitação vencida há mais de 30 dias”.

Alternativa correta: letra “c”.

2-(FCC) Se João canta ou Maria sorri, então Josefa chora e Luiza não grita. Do ponto de vista lógico, uma afirmação equivalente a afirmação anterior é
(A) Se Luiza grita ou Josefa não chora, então João não canta e Maria não sorri.
(B) Se João não canta ou Maria não sorri, então Josefa não chora e Luiza grita.
(C) João canta ou Maria sorri, e Josefa não chora e Luiza grita.
(D) Se João canta, então Josefa chora e se Maria sorri, então Luiza grita.
(E) Se Luiza não grita e Josefa chora, então João canta ou Maria sorri.

Comentário:
Como temos uma condicional (se… então…) e o enunciado pede uma sentença equivalente, podemos usar a regra da contrapositiva, ou seja, podemos negar as duas partes e depois inverter as posições das proposições obtidas. Sendo assim, a segunda parte (“Josefa chora e Luiza não grita”) deve ser “levada” para a primeira parte, mas com a sua negação, ou seja, Josefa NÃO chora OU Luiza GRITA.

Da mesma forma, a primeira parte (“João canta ou Maria sorri”) deve ser “levada” para a segunda parte com a sua negação, ou seja, “João NÃO canta E Maria NÃO sorri”.

Assim, obtemos como forma equivalente a seguinte condicional:
“Se Josefa não chora ou Luiza grita, então João não canta e Maria não sorri”.

Agora, faça o seguinte. Volte no enunciado da questão e tente encontrar dentre as alternativas a sentença obtida acima. Pois bem… Percebeu que não temos essa proposição, certo? Pois é… Será que fizemos algo errado?

Negativo!

Veja… Os conectivos “e”, “ou”, “ou…ou…” e “se e somente se” admitem a propriedade comutativa, ou seja, em sentenças com esses elementos, poderemos trocar a ordem das proposições, sem alteração de sentido da frase. Nessa questão, portanto, o examinador, exigiu o uso dessa propriedade ao final do exercício.

Perceba que na primeira parte ele aplicou tal propriedade. Dessa forma, ao invés de apresentar como gabarito “Se Josefa não chora ou Luiza grita, então João não canta e Maria não sorri”, ele apresentou “Se Luiza grita ou Josefa não chora, então João não canta e Maria não sorri”. Vale reforçar que, seria possível também usarmos a comutativa na segunda parte. Mas como é uma questão de opção, percebemos que nesse caso a banca não quis fazer dessa forma.

Então, agora sim!

Alternativa correta: letra “a”.

3-(Vunesp) Uma negação lógica para a afirmação “João é rico, ou Maria é pobre” é:

(A) Se João é rico, então Maria é pobre.

(B) João não é rico, e Maria não é pobre.

(C) João é rico, e Maria não é pobre.

(D) Se João não é rico, então Maria não é pobre.

(E) João não é rico, ou Maria não é pobre.

Comentário:

Nesta questão foi cobrada a regra de negação do conectivo “ou”. Vale lembrar que sempre negaremos proposições com conectivo “ou” usando proposições que apresentem o conectivo “e” (ou algum conectivo equivalente ao “e”, tal como o “mas”, por exemplo). Assim, já podemos descartar as alternativas “a”, “d” e “e”.

Para negarmos uma sentença com conectivo “ou” a Lei de De Morgan nos orienta a negar todas as partes trocando o conectivo “ou” pelo conectivo “e”. Assim a negação da proposição “João é rico, ou Maria é pobre” pode ser escrita como “João não é rico, e Maria não é pobre”. Portanto, podemos garantir que o gabarito está na alternativa “b”.

Não se esqueça que toda sentença com conectivo “e” admite a propriedade comutativa, ou seja, podemos inverter as posições de suas partes sem perda do sentido lógico. Assim, também seria correta uma alternativa que trouxesse como opção a proposição “Maria não é pobre, e João não é rico”.

Alternativa correta: letra “b”.

4-(Vunesp) Uma afirmação equivalente para “Se estou feliz, então passei no concurso” é:

(A) Se passei no concurso, então estou feliz.

(B) Se não passei no concurso, então não estou feliz.

(C) Não passei no concurso e não estou feliz.

(D) Estou feliz e passei no concurso.

(E) Passei no concurso e não estou feliz.

Comentário:

A questão pede uma equivalência para uma proposição que possui conectivo “se… então…”. O conectivo “se… então…” poderá ser equivalente ao conectivo “ou” ou ao conectivo “se… então…”. Dessa forma, as alternativas “c”, “d” e “e” estão descartadas.

Como precisamos de uma equivalência para o conectivo “se… então…”, podemos nos basear em alguma das regras:

Como já descartamos as alternativas “c”, “d” e “e”, as alternativas que restam apresentam o conectivo “se… então…”. Usando a segunda regra conseguiremos transformar “se… então…” em “se… então…”.

Para isso deveremos, inicialmente, negar as duas partes da proposição “Se estou feliz, então passei no concurso”.

Como a primeira sentença é “Estou feliz” sua negação será “Não estou feliz” e como a segunda sentença é “Passei no concurso” sua negação será “Não passei no concurso”.

Agora, montamos a condicional trazendo os resultados invertidos, ou seja, no antecedente colocamos a negação da 2ª parte e no consequente colocamos a negação da 1ª parte, obtendo a sentença: “Se não passei no concurso, então não estou feliz”.

 Alternativa correta: letra “b”.

5-(Vunesp) A afirmação “canto e danço” tem, como uma negação, a afirmação contida na alternativa

(A) não canto e não danço.

(B) canto ou não danço.

(C) não danço ou não canto.

(D) danço ou não canto.

(E) danço ou canto.

Comentário:

Nesta questão foi cobrada a regra de negação do conectivo “e”. Como nunca negamos “e” com “e” a alternativa “a” já está descartada. Lembre-se de que a negação de uma sentença com conectivo “e” poderá ser feita com uma proposição que apresente o conectivo “ou” ou com uma proposição que apresente conectivo “se… então…”.

Se nos basearmos na Lei de De Morgan a negação da proposição “canto e danço” será escrita como “não canto ou não danço”. Perceba, porém, que essa proposição não aparece dentre as alternativas. Fique ligado! Nessa questão o examinador da VUNESP fez uso da propriedade comutativa do conectivo “ou”, ou seja, trocou a ordem das proposições obtidas. Trata-se de um raciocínio frequentemente usado em provas dessa banca. Portanto, podemos escrever a sentença “não canto ou não danço” como se fosse a sentença “não danço ou não canto”. Assim, ficamos com a alternativa “c” como gabarito para a questão.

Para aprofundarmos um pouco mais deixo aqui outra possibilidade de negação baseada na segunda regra indicada no quadro acima. A negação da sentença “canto e danço” também poderia ser expressa por “Se canto, então não danço” (MAntivemos a 1ª parte/NEgamos a 2ª parte)

 Alternativa correta: letra “c”.

Abração povo!!!

Brunno Lima (@profbrunnolima)

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