Matemática PM-AL – prova resolvida e gabarito extraoficial

Caros alunos,

Vejam abaixo a resolução das questões de Matemática da prova de Soldado da PM/AL 2017. Fico na torcida para que vocês tenham conseguido um excelente desempenho!

Fico à disposição para debater qualquer questão com vocês!

CESPE – PM/AL – 2017) O tanque para água de um veículo de combate a incêndio tem a forma de um paralelepípedo retângulo e está completamente cheio. No combate a um incêndio, gastou-se 1/3 de sua capacidade. No combate a um segundo incêndio, gastou-se 3/7 do que sobrou. Neste caso, depois de extintos os dois incêndios, restou, no tanque, água até uma altura superior a 1/3 da altura original.

RESOLUÇÃO: 

Seja C a capacidade do tanque. Após gastar 1/3 de C, sobrou 2/3 de C, ou seja, 2C/3.

Após gastar 3/7 desta sobra, resta apenas 4/7 desta sobra, isto é,

Resto = 4/7 de 2C/3

Resto = (4/7) x (2C/3) = 8C/21

 

Veja que o volume restante é superior a 1/3 (que corresponde a 7/21) da capacidade total. Isto significa que a água estará a uma altura superior a 1/3 da altura original.

Item CERTO.

Resposta: C

 

CESPE – PM/AL – 2017) Os soldados Pedro e José, na função de armeiros, são responsáveis pela manutenção de determinada quantidade de armas da corporação – limpeza, lubrificação e municiamento. Se Pedro fizer a manutenção das armas que estavam a seu encargo e de mais 50 que estavam a cargo de José, então Pedro fará a manutenção do dobro de armas que sobram para José. Se José fizer a manutenção das armas que estavam a seu encargo e de mais 60 que estavam a cargo de Pedro, José fará a manutenção do triplo de armas que sobraram para Pedro. Nesse caso, a quantidade de armas para manutenção a cargo de Pedro e José é superior a 260.

RESOLUÇÃO: 

Sejam P e J as quantidades de armas a cargo de Pedro e José originalmente.

Se Pedro fizer a manutenção das armas que estavam a seu encargo e de mais 50 que estavam a cargo de José,então Pedro ficará com P + 50, e José com J – 50 armas. Nesta situação, Pedro fará a manutenção do dobro de armas que sobram para José. Ou seja,

P + 50 = 2 x (J – 50)

P + 50 = 2J – 100

P = 2J – 150

 

Se José fizer a manutenção das armas que estavam a seu encargo e de mais 60 que estavam a cargo de Pedro, José ficará com J + 60 e Pedro com P – 60 armas. Neste caso, José fará a manutenção do triplo de armas que sobraram para Pedro. Isto é:

J + 60 = 3 x (P – 60)

J + 60 = 3P – 180

J = 3P – 240

 

Podemos substituir, nesta última equação, P por 2J – 150, que já havíamos encontrado na equação anterior. Ficamos com:

J = 3.(2J – 150) – 240

J = 6J – 450 – 240

690 = 5J

J = 138

Logo,

P = 2J – 150 = 2.138 – 150 = 276 – 150 = 126

 

A quantidade de armas para manutenção a cargo de Pedro e José é 138 + 126 = 264, número SUPERIOR a 260. Item CERTO.

Resposta: C

 

CESPE – PM/AL – 2017) Manoel, candidato ao cargo de soldado combatente, considerado apto na avaliação médica das condições de saúde física e mental, foi convocado para o teste de aptidão física, em que uma das provas consiste em uma corrida de 2.000 metros em até 11 minutos. Como Manoel não é atleta profissional, ele planeja completar o percurso no tempo máximo exato, aumentando de uma quantidade constante, a cada minuto, a distância percorrida no minuto anterior. Nesse caso, se Manoel, seguindo seu plano, correr 125 metros no primeiro minuto e aumentar de 11 metros a distância percorrida em cada minuto anterior, ele completará o percurso no tempo regulamentar.

RESOLUÇÃO: 

Veja que no primeiro minuto ele percorre 125 metros, no segundo 125 + 11 = 136  metros, no terceiro 125 + 2×11 = 147 metros, e assim por diante. Estamos diante de uma progressão aritmética (PA) de termo inicial a1 = 125 e razão r = 11. O décimo primeiro termo (correspondente ao 11º minuto) é:

a11 = a1 + (11 – 1).r

a11 = 125 + (11 – 1).11

a11 = 125 + 110 = 235 metros

 

A soma das distâncias percorridas nos 11 primeiros minutos é dada pela fórmula da soma dos termos da PA:

S11 = (a1 + a11).11/2

S11 = (125 + 235).11/2

S11 = (360).11/2

S11 = 180.11

S11 = 1.980

 

Veja que a distância total percorrida é INFERIOR  a 2.000 metros, de modo que Manoel NÃO completará o percurso no tempo regulamentar de 11 minutos. Item ERRADO.

Resposta: E

 

Em um tanque A, há uma mistura homogênea de 240 L de gasolina e 60 L de álcool; em outro tanque B, 150 L de gasolina estão misturados homogeneamente com 50 L de álcool.

A respeito dessas misturas, julgue os itens subsequentes.

CESPE – PM/AL – 2017) Para que a proporção álcool/gasolina no tanque A fique igual à do tanque B é suficiente acrescentar no tanque A uma quantidade de álcool que é inferior a 25 L.

RESOLUÇÃO: 

A proporção álcool/gasolina do tanque B é de 50/150 = 1/3.

Suponha que precisamos acrescentar uma quantidade X de álcool no tanque A para ele chegar nesta mesma proporção. A quantidade de álcool passará a será de 60 + X, e a de gasolina será 240, de modo que ficaremos com a razão:

1/3 = (60+X) / 240

240 x 1/3 = 60 + X

80 = 60 + X

X = 20 litros

 

Item CERTO.

Resposta: C

 

CESPE – PM/AL – 2017) Considere que em um tanque C, inicialmente vazio, tenham sido despejadas certas quantidades das misturas dos tanques A e B totalizando 100 L. Considere também que, depois de homogeneizada essa mistura no tanque C, a separação de álcool e gasolina por um processo químico tenha mostrado que nesses 100 L, 22 L eram de álcool. Nessa situação, para formar a mistura no tanque C foram usados mais de 55 L da mistura do tanque A.

RESOLUÇÃO: 

Vamos chamar simplesmente de “A” a quantidade da mistura do tanque A que foi acrescentada no tanque C. Neste caso, a quantidade da mistura B foi de 100 – A, afinal a soma dos dois deve ser igual a 100 litros.

No tanque A temos 300 litros ao todo, dos quais 60 litros são álcool, ou seja, a razão entre o álcool e o total deste tanque é de 60/300 = 1/5. Portanto, se tiramos um volume “A”, a quantidade de álcool retirada é de A.1/5 = A/5.

No tanque B temos 200 litros ao todo, dos quais 50 litros são álcool, ou seja, a razão entre o álcool e o total deste tanque é de 50/200 = 1/4. Portanto, se tiramos um volume “100 – A”, a quantidade de álcool retirada é de (100 – A).1/4 = 25 – A/4.

O total de álcool no tanque C é de 22 litros, e corresponde à soma:

A/5 + (25 – A/4) = 22

25 – 22 = A/4 – A/5

3 = 5A/20 – 4A/20

3 = A/20

A = 60 litros

 

Portanto, foram usados MAIS de 55 litros do tanque A para encher o tanque C. Item CERTO.

Resposta: C

 

CESPE – PM/AL – 2017) De um grupo formado por 10 soldados veteranos e 15 soldados novatos serão escolhidos, aleatoriamente, 3 soldados para compor a guarda do hotel durante uma noite. A respeito dessa guarda, julgue o próximo item.

A probabilidade de a guarda ser composta somente por soldados veteranos é superior a 6%.

RESOLUÇÃO: 

Temos um total de 25 soldados, e devemos escolher 3 para compor a guarda. O total de formas de compor a guarda é dado pela combinação de 25 em grupos de 3, uma vez que, para a formação de um grupo, a ordem dos elementos NÃO importa. Temos:

Total = C(25,3) = 25x24x23 / (3x2x1) = 25x4x23 = 2300

 

Os casos que nos interessam são aqueles onde a guarda é composta apenas por 3 dos 10 soldados veteranos, isto é,

Casos favoráveis = C(10,3) = 10x9x8 / (3x2x1) = 10x3x4 = 120

 

Portanto, a probabilidade de a guarda ser formada apenas por veteranos é:

P = casos favoráveis / total = 120 / 2300 = 12/230 = 0,052 = 5,2%.

 

Este percentual é INFERIOR a 6%, de modo que o item é ERRADO.

 

ATENÇÃO: Probabilidade não estava no seu edital. Embora haja alguns termos vagos no edital, como “Análise de dados”, entendo que não há base razoável para a cobrança de probabilidade nesta prova. Assim, recomendo que vocês entrem com recursos pleiteando a anulação desta questão por extrapolar o conteúdo exigido no edital.

Resposta: E