Matemática Financeira e Estatística – ISS Criciuma – prova resolvida e gabarito comentado

Caros alunos,

Vejam abaixo a resolução das questões de Matemática Financeira e Estatística da prova do ISS Criciúma, realizada pela banca FEPESE neste domingo. Espero que vocês tenham ido muito bem!

FEPESE – ISS/Criciúma – 2017) Uma agência de publicidade quer estimar o grau de preferência entre dois produtos (A e B) concorrentes pelos usuários do cartão-fidelidade de uma certa rede de supermercados. Para isso, realizará uma sondagem junto a uma população de amostra dos usuários do cartão. Os usuários selecionados terão de escolher uma das seguintes opções:
1. Não tenho preferência entre (ou não uso) esses produtos
2. Prefiro o produto A
3. Prefiro o produto B
Para selecionar a amostra, a agência deve decidir entre um dos seguintes métodos de amostragem:
Método 1: selecionar aleatoriamente, no cadastro de usuários do cartão, 100 usuários de cartão de crédito e lhes enviar uma enquete.
Método 2: com base no cadastro, organizar os clientes da rede de supermercados em grupos de acordo a faixa etária e então selecionar 100 usuários do cartão-fidelidade aleatoriamente e de forma proporcional à quantidade
de clientes em cada faixa etária considerada.

Método 3: convidar por meio de e-mail cada usuário do cartão para que participe da pesquisa de opinião, e utilizar como população de amostra os usuários que se disponibilizarem a responder o questionário.
Os métodos descritos acima são, respectivamente:
a. ( ) 1 e 2: amostragem casual simples • 3: amostragem não casual
b. ( ) 1: amostragem casual simples • 2 e 3: amostragem não casual

c. ( ) 1 e 2: amostragem casual estratificada • 3: amostragem não casual
d. ( ) 1 e 3: amostragem casual simples • 2: amostragem não casual
e. ( ) 1: amostragem casual simples • 2: amostragem casual estratificada • 3: amostragem não casual

RESOLUÇÃO:

Vejam que o método 1 descreve a Amostragem Aleatória Simples, que é um tipo de amostragem casual. O método 2 descreve a amostragem estratificada (os clientes são separados em estratos, conforme a faixa etária, e então são selecionados elementos de cada estrato aleatoriamente), que também é uma amostragem casual. O método 3 descreve a amostragem por voluntários, que é um método não casual.

Resposta: E

FEPESE – ISS/Criciúma – 2017) Em uma pesquisa foram entrevistadas 100 pessoas adultas e de cada uma delas foram coletados os seguintes dados: idade (I); faixa salarial (S); grau de uso
de aplicativos no celular (T). Após a coleta de dados, foram calculados os seguintes coeficientes de correlação linear (coeficiente de Pearson):
p(IS) = 0,51 (coeficiente de Pearson entre os dados de idade e faixa salarial)
p(IT) = -0,89 (coeficiente de Pearson entre os dados de idade e grau de uso de aplicativos no celular)
Com base nos coeficientes de correlação linear acima, é correto afirmar:
a. ( ) Há uma tendência de que os entrevistados com mais idade tenham salários mais altos, porém essas duas variáveis provavelmente não são linearmente correlacionadas. Há uma correlação linear entre o uso de aplicativos no celular e a idade dos entrevistados, de forma que quanto maior a idade, menos uso fazem de aplicativos.
b. ( ) Há uma forte correlação linear entre a idade e a faixa salarial dos entrevistados, de forma que quanto maior a idade, maior o salário. Há uma correlação linear entre o uso de aplicativos
no celular e a idade dos entrevistados, de forma que quanto maior a idade, menos uso fazem de aplicativos.
c. ( ) Há uma forte correlação linear entre a idade e a faixa salarial dos entrevistados, de forma que quanto maior a idade, maior o salário. Não há correlação linear entre o uso de aplicativos no celular e a idade dos entrevistados.
d. ( ) Não há correlação entre a idade e a faixa salarial dos entrevistados. Há uma forte correlação linear entre o uso de aplicativos no celular e a idade dos entrevistados, de forma que quanto maior a idade, menos uso fazem de aplicativos.
e. ( ) Há uma tendência de que os entrevistados com mais idade tenham salários mais altos, porém essas duas variáveis não são provavelmente linearmente correlacionadas. Não há correlação linear entre o uso de aplicativos no celular e a idade dos entrevistados.

RESOLUÇÃO:

Veja que o coeficiente IS é positivo, indicando que pessoas com MAIS idade tendem a ter MAIORES salários, e pessoas com MENOS idade tendem a ter MENORES salários. Esse grau de correlação não é tão elevado (está longe de 1,00), o que sugere que esta correlação não deve ser linear.

O coeficiente IT é negativo, indicando que pessoas com MAIS idade tendem a ter um MENOR grau de uso de aplicativos no celular, e pessoas com MENOS idade tendem a ter um MAIOR grau de uso dos aplicativos. Aqui há uma forte correlação negativa (próxima de -1).

Com isso em mãos, podemos marcar a alternativa A.

Resposta: A

FEPESE – ISS/Criciúma – 2017) Em duas pesquisas independentes sobre educação em um município foram selecionados aleatoriamente alunos de quinto ano do ensino fundamental de todas escolas do município para realizarem provas de sondagem (as provas são identicas nas duas pesquisas). A média aritmética simples das notas obtidas pelos alunos que realizaram a prova de uma pesquisa foi 6,6, enquanto que a média aritmética simples das notas obtidas pelos alunos que realizaram a prova da outra pesquisa foi 5,4.

O seguinte teste de hipótese foi desenhado:
Hipótese H0: A média da população é igual a 6,6.
Hipótese H1: A média da população é igual a 5,4.

Serão aleatoriamente selecionadas 10 provas e calculada a média X dessas 10 provas. Se X > 6 será aceita a hipótese H0,caso contrário, será rejeitada a hipótese H0. Foi calculado que a probabilidade de se cometer o ERRO DE TIPO I é de 5,3%, e que a probabilidade de se cometer o ERRO DE TIPO II é de 4,3%.
Ao realizar o teste de hipóteses acima, se encontrou X = 6,2. Analise a frase abaixo a respeito do experimento e do teste de hipóteses:
Devemos …………………… que a média da população é 6,6, mas temos ……… de probabilidade de estarmos …………………… .
Assinale a alternativa que completa corretamente as
lacunas do texto.
a. ( ) rejeitar • 4,3% • corretos
b. ( ) rejeitar • 4,3% • errados
c. ( ) aceitar • 4,3% • corretos
d. ( ) aceitar • 4,3% • errados
e. ( ) aceitar • 5,3% • errados

RESOLUÇÃO:

Veja que obtivemos média 6,2 (valor maior do que 6). De acordo com a definição do nosso teste de hipóteses, isto significa que devemos aceitar a hipótese nula, isto é, devemos ACEITAR que a média da população é 6,6.

Entretanto, como a probabilidade de erro tipo II é 4,3%, isto significa que nós temos 4,3% de probabilidade de estarmos ERRADOS. Ou seja, é possível que a hipótese nula seja falsa e, mesmo assim, estejamos cometendo o erro de aceitá-la.

Resposta: D

FEPESE – ISS/Criciúma – 2017) Um empréstimo de R$ 4000,00 será pago em 8 prestações mensais, sendo a primeira delas paga 30 dias após o empréstimo, com juros de 2,5% ao mês
sobre o saldo devedor, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). O valor, em reais, da sexta prestação será:
a. ( ) Maior que R$ 550,00.
b. ( ) Maior que R$ 540,00 e menor que R$ 550,00.
c. ( ) Maior que R$ 530,00 e menor que R$ 540,00.
d. ( ) Maior que R$ 520,00 e menor que R$ 530,00.
e. ( ) Menor que R$ 520,00.

RESOLUÇÃO:

A amortização mensal é de A = VP/n = 4000 / 8 = 500 reais. Após pagar 5 prestações, já amortizamos 5×500 = 2500 reais, e o saldo devedor é SD = 4000 – 2500 = 1500 reais. Este saldo rende juros de 2,5% no sexto mês, isto é,

J6 = 2,5% x 1500 = 37,50 reais

A sexta prestação é:

P = A + J

P = 500 + 37,50

P = 537,50 reais

Resposta: C

FEPESE – ISS/Criciúma – 2017) Uma pizzaria tem no seu cardápio 3 grupos de sabores de pizzas:
Pizzas Tradicionais
Pizzas Especiais
Pizzas Gourmet
Ao todo, há 15 pizzas Tradicionais, cada uma no valor de R$ 35,00, 10 pizzas Especiais, cada uma no valor de R$ 40,00, e 5 pizzas Gourmet, cada uma no valor de R$ 46,00.
Levando em conta todas as pizzas vendidas por essa pizzaria, podemos afirmar que a média, a mediana e a moda dos valores são, respectivamente:
a. ( ) R$ 35,00 • R$ 38,50 • R$ 37,50
b. ( ) R$ 37,50 • R$ 35,00 • R$ 38,50
c. ( ) R$ 37,50 • R$ 38,50 • R$ 35,00
d. ( ) R$ 38,50 • R$ 35,00 • R$ 37,50
e. ( ) R$ 38,50 • R$ 37,50 • R$ 35,00

RESOLUÇÃO:

A moda é claramente o valor de 35 reais, afinal há 15 repetições dele (este é o maior número de repetições). Isto já nos deixa entre as letras C e E apenas.

Colocando as pizzas em ordem crescente de preço, temos 15 de 35 reais, 10 de 40 reais e 5 de 46 reais. Veja que são n = 30 pizzas ao todo. A posição da mediana é (n+1)/2 = (30+1)/2 = 15,5. Isto significa que devemos fazer a média entre a 15ª e a 16ª pizzas, em ordem crescente. A 15ª é a última de 35 reais, e a 16ª é a primeira de 40 reais. A mediana será, portanto, (35+40)/2 = 37,50 reais.

Veja que já podemos marcar a letra E, que contém os valores corretos para mediana e moda.

Para conferir, vamos calcular a média:

Média = (15×35,00 + 10×40,00 + 5×46,00)/(15+10+5) = 1155 / 30 = 38,50 reais

Resposta: E

FEPESE – ISS/Criciúma – 2017) Um capital é aplicado à taxa de juros simples anual de 18%. Para que o montante obtido com a aplicação seja 50% maior que o capital inicial investido, é
necessário que o capital fique aplicado no mínimo:

a. ( ) 16 meses.
b. ( ) 22 meses.
c. ( ) 28 meses.
d. ( ) 34 meses.
e. ( ) 42 meses.

RESOLUÇÃO:

Sendo 100 o capital aplicado, queremos que o montante seja maior do que 150 reais (Que é 50% maior do que o capital). A taxa de 18%aa corresponde à taxa mensal de 18%/12 = 1,5%am. Assim,

Montante > 150

C x (1 + jxt) > 150

100 x (1 + 0,015xt) > 150

1 + 0,015xt > 1,5

0,015xt > 0,5

t > 0,5 / 0,015

t > 500 / 15

t > 33,33 meses

O prazo deve ser maior do que 33,33 meses. Por isto, ele deve ficar aplicado, no mínimo, por 34 meses (admitindo que as aplicações só podem ser feitas em números inteiros de meses).

Resposta: D

FEPESE – ISS/Criciúma – 2017) Um título foi pago 8 meses antes do seu vencimento, com desconto racional simples à taxa de 20%. Se o desconto fosse comercial, a taxa que deveria ser
adotada para produzir um desconto de igual valor é:

a. ( ) Maior que 7,75%.
b. ( ) Maior que 7,5% e menor que 7,75%.
c. ( ) Maior que 7,25% e menor que 7,5%.
d. ( ) Maior que 7% e menor que 7,25%.
e. ( ) Menor que 7%.

RESOLUÇÃO:

A relação entre o desconto comercial (dc) e o desconto racional (dr) que produzem o mesmo efeito, no regime simples, é:

1/dc – 1/dr = t

1/dc – 1/0,20 = 8

1/dc – 5 = 8

1/dc = 13

dc = 1/13

dc = 0,0769

dc = 7,69%

Resposta: B

FEPESE – ISS/Criciúma – 2017) Considere as seguintes descrições de distribuições de probabilidade de variáveis aleatórias:
Distribuição 1: expressa a probabilidade de que uma dada quantidade de eventos ocorra em um dado intervalo de tempo, se conhecemos a taxa média de ocorrência desses eventos nesse intervalo de tempo, e se a ocorrência de um evento é independente do momento da ocorrência do evento anterior.
Distribuição 2: expressa o número de sucessos numa sequência de n experimentos feitos de forma que: cada experimento tem exclusivamente como resultado duas possibilidades, sucesso ou fracasso; cada experimento é independente dos demais; e a probabilidade de sucesso em cada evento é sempre a mesma.
As distribuição descritas acima são, respectivamente:
a. ( ) 1: normal • 2: qui-quadrado
b. ( ) 1: de Poisson • 2: normal
c. ( ) 1: de Poisson • 2: binomial
d. ( ) 1: qui-quadrado • 2: normal
e. ( ) 1: qui-quadrado • 2: binomial

RESOLUÇÃO:

A distribuição de Poisson é aquela que trata sobre eventos que ocorrem com uma regularidade conhecida (taxa média de ocorrência) e nos permite calcular a probabilidade de que uma determinada quantidade de eventos ocorra no intervalo de tempo do nosso interesse. Esta é a distribuição 1.

A distribuição binomial é aquela em que temos um número fixo de tentativas (n experimentos), em cada tentativa só podemos ter 2 resultados possíveis (sucesso ou fracasso), e a probabilidade de sucesso em cada tentativa é sempre a mesma. Esta é a distribuição 2.

Resposta: C

FEPESE – ISS/Criciúma – 2017) A taxa de juros compostos trimestrais, equivalente à taxa de juros compostos mensais de 3%, é:
a. ( ) Maior que 9,3%.
b. ( ) Maior que 9,25% e menor que 9,3%.
c. ( ) Maior que 9,2% e menor que 9,25%.
d. ( ) Maior que 9% e menor que 9,2%.
e. ( ) Igual a 9%.

RESOLUÇÃO:

Podemos usar a fórmula:

(1 + j)^t = (1 + jeq)^teq

Temos a taxa de 3%:

(1 + 3%)^t = (1 + jeq)^teq

No lado esquerdo da igualdade as informações estão em MESES, no lado direito elas devem estar em TRIMESTRES (pois queremos a taxa trimestral). Sabemos que teq = 1 trimestre corresponde a t = 3 meses. Assim, podemos substituir os expoentes:

(1 + 3%)³ = (1 + jeq)¹

(1,03)³ = 1 + jeq

1,092727 = 1 + jeq

jeq = 0,092727

jeq = 9,2727% ao trimestre

Resposta: B

FEPESE – ISS/Criciúma – 2017) A taxa interna de retorno de um fluxo de caixa composto por uma saída de R$ 60,00 no fim do primeiro mês, uma entrada de R$ 30,00 no fim do segundo mês e uma entrada de R$ 45,00 no fim do terceiro mês é:
a. ( ) Maior que 25%.
b. ( ) Maior que 20% e menor que 25%.
c. ( ) Maior que 15% e menor que 20%.
d. ( ) Maior que 10% e menor que 15%.
e. ( ) Menor que 10%.

RESOLUÇÃO:

O valor presente líquido deste fluxo de caixa é dado por:

VPL = VPentradas – VPsaídas

VPL = 30/(1+j)² + 45/(1+j)³ – 60/(1+j)¹

Se queremos calcular a taxa interna de retorno, devemos zerar o VPL:

0 = 30/(1+j)² + 45/(1+j)³ – 60/(1+j)¹

Podemos multiplicar todos os termos por (1+j)³, ficando com:

0 = 30.(1+j) + 45 – 60.(1+j)²

0 = 30 + 30j + 45 – 60.(1 + 2j + j²)

0 = 30 + 30j + 45 – 60 – 120j – 60j²

0 = 15 – 90j – 60j²

Dividindo todos os termos por -15, temos: