Gabarito + Prova Comentada de RLQ e Matemática Financeira – SEFAZ/GO
Olá, pessoal!!!
Tudo bem?
Espero que tenham feito uma excelente prova. Segue aqui a resolução das provas de Matemática financeira e Raciocínio Lógico Quantitativo.
- (FCC 2018/SEFAZ-GO) O segundo termo da sequência aritmética (an), de razão 9, é igual ao oitavo termo da sequência geométrica (bn), de razão -1/2. Além disso, os quintos termos das duas sequências são iguais.
Nessas condições, o valor da soma infinita S, dada por:
S = b1 + b2 + b3 + … + bn + …,
é igual a:
a) 192
b) 188
c) 288
d) 256
e) 216
Resolução
O segundo termo da P.A. é igual ao oitavo termo da P.G.
a2 = b8
a1 + r = b1 * q^7
a1 + 9 = b1 * (-1/2)^7
a1 + 9 = – b1/128
128 a1 + 1.152 = – b1
b1 = -128 a1 – 1.152 (equação I)
Os quintos termos da P.A. e da P.G. são iguais.
a5 = b5
a1 + 4r = b1 * q^4
a1 + 36 = b1 * (-1/2)^4
a1 + 36 = b1/16
b1 = 16a1 + 576 (equação II)
Igualando as expressões encontradas para b1, temos:
16a1 + 576 = -128 a1 – 1.152
16a1 + 128a1 = -576 – 1.152
144a1 = -1.728
a1 = -12
Portanto,
b1 = 16a1 + 576
b1 = 16*(-12) + 576 = 384
Agora é só aplicar a fórmula da soma de uma P.G. infinita.
S = b1/(1-q) = 384/(1-(-1/2)) = 384/(3/2) = 384 * (2/3) = 256
Gabarito: D
- (FCC 2018/SEFAZ-GO) Os matemáticos definem diferentes tipos de médias entre dois números positivos e, para cada aplicação, escolhem qual o tipo mais adequado a ser utilizado. A média harmônica H entre os números positivos a e b, por exemplo, é definida como o inverso da média aritmética dos inversos desses números, ou seja,
H = 1/((1/a +1/b)/2)
A média aritmética dos números 5 e 20 supera a média harmônica desses mesmos números em
a) 4,75 unidades.
b) 5 unidades.
c) 4 unidades.
d) 4,25 unidades.
e) 4,5 unidades.
Resolução
A média aritmética é (5+20)/2 = 12,5.
Vamos agora calcular a média harmônica.
i) A soma dos inversos: 1/5 + 1/20 = (4+1)/20 = 5/20 = 1/4
ii) A média aritmética dos inversos: (1/4)/2 = 1/8
iii) A média harmônica, que é o inverso da média aritmética dos inversos: 1/(1/8) = 8.
Portanto, a média aritmética supera a média harmônica em 12,5 – 8 = 4,5 unidades.
Gabarito: E
- (FCC 2018/SEFAZ-GO) Há dois anos, Marcelo recebeu R$ 100.000,00 como resultado do fechamento de um negócio e decidiu investir esse dinheiro no mercado financeiro. Após conversar com um consultor, ele aplicou parte do valor em um fundo de ações A e, o restante, em um investimento estruturado B. Marcelo acaba de resgatar o valor completo das duas aplicações, totalizando R$ 137.800,00. De acordo com o relatório elaborado pelo consultor, no período de 2 anos, o fundo A rendeu o equivalente a 0,8% ao mês, enquanto que o investimento B rendeu o equivalente a 2,2% ao mês, com ambos os rendimentos calculados no regime de juros compostos. O valor, em reais, aplicado por Marcelo, há dois anos, no fundo de ações A foi de:
Dados: (1,008)^12 = 1,1
(1,022)^12 = 1,3
a) 60.000,00.
b) 65.000,00
c) 45.000,00
d) 50.000,00
e) 55.000,00
Resolução
Vamos considerar que Marcelo aplicou x reais no fundo A e (100.000 – x) reais no fundo B.
O montante acumulado pelo fundo A foi:
x * 1,008^24 = x * (1,008^12)^2 = x * 1,1^2 = 1,21x.
O montante acumulado pelo fundo B foi:
(100.000 – x)*1,022^24 = (100.000 – x)*(1,022^12)^2 = (100.000 – x)*1,3^2 = (100.000 – x)*1,69.
A soma dos dois montantes é igual a 137.800 reais.
1,21x + (100.000 – x)*1,69 = 137.800
1,21x + 169.000 – 1,69x = 137.800
-0,48x = -31.200
x = 65.000
Gabarito: B
- (FCC 2018/SEFAZ-GO) Em um campeonato de futebol, as equipes recebem 3 pontos a cada vitória, 1 ponto por empate e não recebem ponto quando são derrotadas. Faltando somente a última rodada para ser disputada, apenas a equipe X, com 74 pontos, e a equipe Y, com 73 pontos, ainda têm chance de vencer o campeonato. O campeão será aquele que somar mais pontos ao final da última rodada, sendo que, em caso de empate, os critérios estabelecidos no regulamento indicam que a equipe Y será a campeã. Considerando os adversários de cada equipe na última rodada, analistas esportivos estimaram, para as equipes X e Y, as seguintes probabilidades para os jogos que decidirão o torneio.
Equipe | Adversário na última rodada | Probabilidade de vitória | Probabilidade de empate | Probabilidade de derrota |
X | P | 50% | 30% | 20% |
Y | Q | 80% | 10% | 10% |
Admitindo que os resultados dos jogos das equipes X e Y na última rodada sejam independentes, a probabilidade de que a equipe X seja campeã, de acordo com a estimativa dos analistas é igual a:
a) 60%
b) 63%
c) 50%
d) 55%
e) 58%
Resolução
Queremos calcular a probabilidade de a equipe X ser campeã.
i) Se X perder a rodada contra P, Y deverá perder também para que X seja campeã.
A probabilidade de X perder e Y perder é igual a 0,20 * 0,10 = 0,02.
Devemos multiplicar as probabilidades porque os eventos são independentes.
ii) Se X empatar, Y pode empatar também ou perder para que X seja campeã.
A probabilidade de X empatar e Y empatar ou X empatar e Y perder é igual a 0,30*0,10 + 0,30*0,10 = 0,06
iii) Se X vencer, Y pode vencer, empatar ou perder para que X seja campeã.
A probabilidade de X vencer é 50% = 0,50.
A probabilidade total de X ser campeã é igual a 0,02 + 0,06 + 0,50 = 0,58 = 58%.
Gabarito: E
- (FCC 2018/SEFAZ-GO) Um dos diretores de uma pequena indústria têxtil fez a seguinte afirmação durante uma reunião da diretoria: Se todas as matérias-primas forem entregues no prazo e nenhuma máquina de tingimento sofrer avaria, então o setor de produção conseguirá atingir a meta de setembro. Ao final do mês, porém, constatou-se que a meta de setembro não foi atingida pelo setor de produção. Considerando que a análise do diretor estava certa, é correto concluir que, necessariamente:
a) nenhuma matéria prima foi entregue no prazo e pelo menos uma máquina de tingimento sofreu avaria.
b) algumas matérias-primas foram entregues fora prazo, mas nenhuma máquina de tingimento sofreu avaria.
c) pelo menos uma matéria-prima não foi entregue no prazo ou uma máquina de tingimento sofreu avaria.
d) nem todas as matérias-primas foram entregues no prazo e pelo menos uma máquina de tingimento sofreu avaria.
e) as matérias-primas não foram entregues no prazo ou todas as máquinas de tingimento sofreram avaria.
Resolução
A primeira premissa é uma proposição condicional:
i) Se todas as matérias-primas forem entregues no prazo e nenhuma máquina de tingimento sofrer avaria, então o setor de produção conseguirá atingir a meta de setembro.
A segunda premissa é uma proposição simples.
ii) A meta de setembro não foi atingida pelo setor de produção.
Devemos assumir que as duas premissas são verdadeiras. Sabemos que a meta de setembro não foi atingida. Desta forma, o consequente da primeira premissa é falso.
Sendo falso o consequente, o antecedente da primeira premissa obrigatoriamente será falso, pois não podemos admitir a ocorrência de VF em uma proposição condicional (lembre-se que estamos assumindo que as premissas são verdadeiras).
Desta forma, é falso o antecedente da primeira premissa:
“Todas as matérias-primas forem entregues no prazo e nenhuma máquina de tingimento sofrer avaria” = FALSO
Se esta proposição é falsa, será verdadeira a sua negação. Vamos, portanto, negar esta proposição composta pelo conectivo “e”. Para tanto, devemos negar seus dois componentes e trocar o conectivo por “ou”.
Afirmação | Todas as matérias-primas forem entregues no prazo | e | nenhuma máquina de tingimento sofreu avaria |
Negação | Alguma matéria-prima não foi entregue no prazo | ou | alguma máquina de tingimento sofreu avaria. |
Observe que “Todas as matérias-primas forem entregues no prazo” é uma proposição universal afirmativa. A sua negação será uma particular negativa. Por isso nós utilizamos um quantificador particular (algum, existe, pelo menos um…) e modificamos o verbo.
Observe ainda que “nenhuma máquina de tingimento sofreu avaria” é uma proposição universal negativa. A sua negação deverá ser uma particular afirmativa. Por isso, devemos utilizar um quantificador particular (algum, existe, pelo menos um…) e deixar o verbo afirmativo.
Gabarito: C
- (FCC 2018/SEFAZ-GO) O preço à vista de um apartamento é R$ 210.000,00. Jorge fez uma proposta ao proprietário para adquirir esse imóvel pagando-o em três parcelas iguais, a primeira à vista, a segunda após 1 ano e a terceira depois de 2 anos. O proprietário aceitou a proposta, desde que fossem cobrados juros compostos de 100% ao ano sobre o saldo devedor após o pagamento de cada parcela. Nas condições impostas pelo proprietário, o valor de cada uma das três parcelas a serem pagas por Jorge, em reais, deverá ser igual a
a) 70.000,00.
b) 130.000,00.
c) 120.000,00.
d) 90.000,00.
e) 100.000,00.
Resolução
Para calcular o valor presente de cada parcela, devemos dividir o valor da prestação por (1+i)^n. Observe que i = 100% a.a. = 1 a.a..
Seja x o valor de cada prestação.
A primeira prestação já está na data 0.
O valor presente da segunda prestação é x/(1+1)^1 = x/2.
O valor presente da terceira prestação é x/(1+1)^2 = x/4.
Assim, somando os valores presentes das três prestações obteremos 210.000 reais.
x + x/2 + x/4 = 210.000
x + 0,5x + 0,25x = 210.000
1,75x = 210.000
x = 210.000/1,75 = 120.000 reais
Gabarito: C
Ficamos por aqui. Um forte abraço e até a próxima.
Guilherme Neves
Instagram: @profguilhermeneves.