Gabarito PF Estatística: Agente, Escrivão e Papiloscopista
Olá! Tudo bem?
Como foi a prova da PF? A parte de estatística veio bem pesada, né? Ou você estava bem preparado?
A seguir, o professor de Estatística do Estratégia, Djefferson Maranhão, e eu apresentamos os nossos comentários das questões 38 a 48. Atente-se aos enunciados, pois a ordem das questões em cada bloco pode ter sido diferente na sua prova.
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Comentários:
O enunciado informa que a variável é contínua. Para esse tipo de variável, a probabilidade de ela assumir exatamente determinado valor é nula:
P(X = 5) = 0
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Resposta: Errado.
Questão 38. O valor esperado de X é igual a 12.
Comentários:
O valor esperado de X é dado por:
![](https://dhg1h5j42swfq.cloudfront.net/2021/05/23234327/image-562.png)
Para isso, precisamos calcular o valor de , considerando-se que a probabilidade associada a todo o Espaço Amostral (U) é igual a 1. Como a variável assume valor no intervalo [0,24) temos:
![](https://dhg1h5j42swfq.cloudfront.net/2021/05/23234354/image-563.png)
Calculando as integrais em separado (sem aplicar os limites), temos:
![](https://dhg1h5j42swfq.cloudfront.net/2021/05/23234423/image-564.png)
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Juntando os termos:
![](https://dhg1h5j42swfq.cloudfront.net/2021/05/23234545/image-567.png)
Aplicando os limites da integral, temos:
![](https://dhg1h5j42swfq.cloudfront.net/2021/05/23234623/image-570-1024x345.png)
Observação: Se, na expressão acima, você isolar 24×24, as contas ficam menores:
![](https://dhg1h5j42swfq.cloudfront.net/2021/05/23234711/image-573.png)
Portanto, conhecendo f(x), o valor esperado é dado por:
![](https://dhg1h5j42swfq.cloudfront.net/2021/05/23234722/image-574.png)
Calculando as integrais em separado (sem aplicar os limites), temos:
![](https://dhg1h5j42swfq.cloudfront.net/2021/05/23234757/image-576.png)
Juntando os termos:
![](https://dhg1h5j42swfq.cloudfront.net/2021/05/23234810/image-577.png)
Aplicando os limites da integral, temos:
![](https://dhg1h5j42swfq.cloudfront.net/2021/05/23234917/image-580.png)
Observação: Similarmente ao que fizemos antes, se você isolar 24x24x24 na expressão acima, as contas simplificam:
![](https://dhg1h5j42swfq.cloudfront.net/2021/05/23235021/image-582-1024x78.png)
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Resposta: Certo.
![](https://dhg1h5j42swfq.cloudfront.net/2021/05/24001304/image-624.png)
Comentários:
Na questão anterior, vimos que a constante é:
![](https://dhg1h5j42swfq.cloudfront.net/2021/05/23235115/image-586.png)
Ou seja, é inferior a 0,01.
Resposta: Certo.
Considere que X e Y sejam variáveis aleatórias contínuas que se distribuem conjuntamente conforme a função de densidade
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Na qual 0<x<1 e 0<y<1
Com base nessas informações, julgue os itens seguintes.
Questão 40. X e Y são variáveis aleatórias independentes.
Comentários:
Duas variáveis contínuas são independentes quando a função densidade de probabilidade conjunta, f(x,y), é o produto das funções densidade de probabilidade marginal das variáveis:
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Ou seja, precisamos calcular as funções densidade de probabilidade marginal das variáveis. A função marginal de x é dada por:
![](https://dhg1h5j42swfq.cloudfront.net/2021/05/23235308/image-589.png)
Aqui, estamos integrando em relação a y, ou seja, x é considerada constante. Calculando a integral, sem considerar os limites, temos:
![](https://dhg1h5j42swfq.cloudfront.net/2021/05/23235318/image-590.png)
Aplicando os limites,temos:
![](https://dhg1h5j42swfq.cloudfront.net/2021/05/23235353/image-591.png)
A função marginal de y é dada por:
![](https://dhg1h5j42swfq.cloudfront.net/2021/05/23235404/image-592.png)
Ou seja, temos uma integral em relação a x, em que consideramos y constante. Calculando a integral, sem considerar os limites, temos:
![](https://dhg1h5j42swfq.cloudfront.net/2021/05/23235415/image-593.png)
Aplicando os limites, temos:
![](https://dhg1h5j42swfq.cloudfront.net/2021/05/23235448/image-594.png)
O produto das funções marginais é:
![](https://dhg1h5j42swfq.cloudfront.net/2021/05/23235513/image-596.png)
Podemos observar que essa função é diferente da função densidade conjunta fornecida. Por esse motivo, as variáveis não são independentes.
Resposta: Errado.
Questão 41. Y é uma variável uniforme no intervalo (0,1)
Comentários:
Na questão anterior, calculamos que a função densidade marginal de y é:
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Ou seja, quando y=0 a função é f(y)=1/2 e quando y=1 a função é f(y)=1+1/2=3/2. Logo, o valor da função varia, não sendo, portanto, uniforme.
Resposta: Errado.
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Comentários:
A questão está pedindo pela esperança de Y condicionada a X=1/2. Antes de entrar nos cálculos, podemos aplicar a propriedade aditiva da integral para facilitar as nossas contas:
![](https://dhg1h5j42swfq.cloudfront.net/2021/05/23235633/image-598.png)
Sabendo que x=1/2, a esperança de X é igual a 1/2:
![](https://dhg1h5j42swfq.cloudfront.net/2021/05/23235711/image-599.png)
A esperança de Y, condicionada a X = x, é dada por:
![](https://dhg1h5j42swfq.cloudfront.net/2021/05/23235718/image-600.png)
Em que f(y|x) é a função densidade de Y condicionada a X, que é a razão entre a função densidade conjunta e a função marginal de x:
![](https://dhg1h5j42swfq.cloudfront.net/2021/05/23235749/image-601.png)
Já calculamos f(x)=x+1/2, então, o valor de f(X=1/2) é:
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Portanto, a função de Y condicionada a X=1/2 é:
![](https://dhg1h5j42swfq.cloudfront.net/2021/05/23235839/image-603.png)
Agora, podemos calcular a esperança de Y condicionada a X=1/2:
![](https://dhg1h5j42swfq.cloudfront.net/2021/05/23235854/image-604.png)
Calculando as integrais em separado, sem considerar os limites, temos:
![](https://dhg1h5j42swfq.cloudfront.net/2021/05/23235907/image-605.png)
Juntando as expressões, temos:
![](https://dhg1h5j42swfq.cloudfront.net/2021/05/23235942/image-606.png)
Aplicando os limites, temos:
![](https://dhg1h5j42swfq.cloudfront.net/2021/05/24000001/image-607.png)
Por fim, somamos E(X|X=1/2) para obter E(X+Y|X=1/2):
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O resultado é diferente de 14/12.
Resposta: Errado.
![](https://dhg1h5j42swfq.cloudfront.net/2021/05/24002613/image-630.png)
Comentários:
Uma estatística é considerada suficiente quando se ela captura, a partir da amostra obtida, toda a informação possível sobre o parâmetro populacional desconhecido, de modo que qualquer outra informação não contribuirá com a estimação do parâmetro populacional.
Considerando que o enunciado forneceu a função de distribuição acumulada, o parâmetro pode ser estimado a partir da mediana da distribuição, a função de distribuição acumulada é igual a 0,5:
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A partir dessa equação, é possível calcular o valor do parâmetro . Ou seja, precisamos da mediana da distribuição, e não da média. Portanto, a média não é uma estatística suficiente para estimar esse parâmetro.
Resposta: Errado.
Questão 44. Pelo método dos mínimos quadrados ordinários, a estimativa da média populacional é igual ou superior a 3,5.
Comentários:
A estimativa da média populacional pelo método dos mínimos quadrados é a média amostral, dada por:
![](https://dhg1h5j42swfq.cloudfront.net/2021/05/24000145/image-610.png)
Como 3,84 é superior a 3,5, o item está certo.
Resposta: Certo.
![](https://dhg1h5j42swfq.cloudfront.net/2021/05/24001841/image-626.png)
Comentários:
Agora, vamos voltar ao cálculo da mediana, utilizando a estimativa da mediana observada. Para isso, vamos ordenar os valores observados:
3,1 | 3,5 | 3,5 | 3,8 | 5,3 |
Podemos observar que a mediana é igual a 3,5, logo:
![](https://dhg1h5j42swfq.cloudfront.net/2021/05/24000225/image-611.png)
![](https://dhg1h5j42swfq.cloudfront.net/2021/05/24000246/image-612.png)
Portanto, o parâmetro é inferior a 3,5
Resposta: Errado.
Um estudo objetivou avaliar a evolução do número mensal Y de milhares de ocorrências de certo tipo de crime em determinado ano. Com base no método dos mínimos quadrados ordinários, esse estudo apresentou um modelo de regressão linear simples de forma
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![](https://dhg1h5j42swfq.cloudfront.net/2021/05/24002035/image-627.png)
Os erros padrão das estimativas dos coeficientes desse modelo, as razões t e seus respectivos p-valores encontram-se na tabela a seguir:
erro padrão | razão | p-valor | |
intercepto | 0,584 | 8,547 | 0,00 |
coeficiente angular | 0,064 | 1,563 | 0,15 |
Os desvios padrão amostrais das variáveis Ye T foram, respectivamente, 1 e 3,6.
Com base nessas informações, julgue os itens a seguir.
Questão 46. Se a média amostral da variável T for igual a 6,5, então a média amostral da variável Y será igual a 4,35 mil ocorrências.
Comentários:
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![](https://dhg1h5j42swfq.cloudfront.net/2021/05/24000353/image-614.png)
Resposta: Certo.
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Comentários:
De fato, como o p-valor da estimativa do coeficiente angular é maior que o nível de significância (0,15 > 0,05), não temos evidências estatísticas suficientes para rejeitar a hipótese nula.
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Gabarito: Certo.
Questão 48. A correlação linear entre as variáveis Y e T foi igual a -0,1.
Comentários:
A estimativa de beta, pelo método dos mínimos quadrados, é dada pela expressão:
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Vamos relacionar essa expressão com a do coeficiente de correlação:
![](https://dhg1h5j42swfq.cloudfront.net/2021/05/24000452/image-616.png)
Assim, concluímos que o coeficiente de correlação pode ser expresso por meio da seguinte relação:
![](https://dhg1h5j42swfq.cloudfront.net/2021/05/24000546/image-618.png)
Logo, temos o seguinte coeficiente de correlação:
![](https://dhg1h5j42swfq.cloudfront.net/2021/05/24000558/image-619.png)
Gabarito: Errado.