Caro aluno,
Segue abaixo a resolução das questões de Matemática Financeira da prova de Contador da Prefeitura de Niterói, realizada no último domingo.
Se você vai fazer a prova de Fiscal de Tributos no próximo final de semana, repare que:
– haviam várias questões de cálculos simples/rápidos;
– aqueles temas que a FGV adora cobrar estavam presentes: taxa real, anuidades perpétuas, aplicação simples das fórmulas de juros;
– se você gravasse alguns números básicos em provas de matemática financeira, como 1,1^2 = 1,21; 1,05^2 = 1,1025 e 1,2^2 = 1,44, você economizaria um tempo precioso!
Notei a ausência de questões CONCEITUAIS, ao contrário do que vimos no ISS/Cuiabá 2015 (FGV). Talvez essa seja uma possibilidade para a prova de 12/Dezembro!!
FGV – Contador da Prefeitura de Niteroi – 2015) Uma instituição financeira oferece resgate do valor equivalente às reservas de um plano de benefícios perpétuos em uma única vez. O acordo dará quitação geral e definitiva dos benefícios, com a consequente extinção dos contratos. Para um cliente que recebe R$ 3.000,00 mensais, foi oferecido o valor do pagamento de R$ 60.000,00. Desconsidere impostos e taxas. A taxa mensal de juros compostos praticada pela instituição nesse tipo de operação foi:
(A) 5,0%;
(B) 5,5%;
(C) 7,1%;
(D) 8,0%;
(E) 10,2%
RESOLUÇÃO:
Temos uma renda perpétua R = 3.000 reais/mês que leva a um valor presente de VP = 60.000 reais. A taxa de juros é dada pela relação:
R = VP x j
3.000 = 60.000 x j
j = 3.000 / 60.000 = 3 / 60 = 1 / 20 = 5 / 100 = 5% ao mês
Resposta: A
FGV – Contador da Prefeitura de Niteroi – 2015) Uma aplicação de R$ 10.000,00, após dois meses, resultou em um montante de R$ 14.210,00. Considerando a incidência de imposto sobre o rendimento de 30% e a taxa mensal de inflação de 10%, a taxa de juros real durante o período de aplicação foi:
(A) 7,0%;
(B) 7,5%;
(C) 8,0%;
(D) 8,5%;
(E) 9,0%.
RESOLUÇÃO:
Temos um ganho de R$4.210 reais. Como deve ser pago 30% de imposto, então o ganho líquido é de 70% x 4.210 = 0,70 x 4.210 = 7 x 421 = 2.947 reais. Isso corresponde a um ganho percentual de 2.947 / 10.000 = 0,2947 = 29,47%. Portanto, esta é a nossa taxa aparente ou nominal (jn). Sendo a inflação de 10% ao mês, ao longo de 2 meses esta inflação é de 21% (basta obter a taxa bimestral equivalente a 10% ao mês).
Assim, podemos obter a taxa real do período lembrando que:
(1 + taxa real) = (1 + taxa aparente) / (1 + inflação)
(1 + taxa real) = (1 + 29,47%) / (1 + 21%)
(1 + taxa real) = 1,2947 / 1,21
(1 + taxa real) = 1,07
taxa real = 0,07 = 7%
Resposta: A
FGV – Contador da Prefeitura de Niteroi – 2015) Um título de valor de face de R$ 15.000,00, com vencimento para 90 dias, foi descontado – desconto simples por fora ou desconto comercial – à taxa de desconto de 60% ao ano. O valor do desconto, em reais, foi:
(A) 1.500;
(B) 1.750;
(C) 2.000;
(D) 2.250;
(E) 2.500.
RESOLUÇÃO:
Repare que 90 dias correspondem a 3 meses comerciais (de 30 dias cada), e que 60% ao ano corresponde a 60% / 12 = 5% ao mês. Assim, na fórmula do desconto comercial simples:
A = N x (1 – d x t)
A = 15.000 x (1 – 5% x 3)
A = 15.000 x (1 – 0,05 x 3)
A = 15.000 x (1 – 0,15)
A = 15.000 x (0,85)
A = 150 x 85
A = 12.750 reais
O desconto foi de D = N – A = 15.000 – 12.750 = 2.250 reais.
Resposta: D
FGV – Contador da Prefeitura de Niteroi – 2015) Considere a amortização de uma dívida pelo Sistema francês de amortização – tabela Price em três pagamentos, vencendo a primeira prestação um período após a liberação dos recursos, sendo que as duas primeiras parcelas de amortização são R$ 5.000,00 e R$ 5.500,00, respectivamente. O valor de cada prestação, em reais, é:
(A) 5.250;
(B) 5.500;
(C) 5.516;
(D) 6.050;
(E) 6.655.
RESOLUÇÃO:
Repare que do primeiro para o segundo mês houve um acréscimo de 500 reais no total amortizado, o que significa que houve uma redução de 500 reais nos juros incidentes. Como os juros incidem sobre o saldo devedor, podemos associar essa redução de 500 reais nos juros com a redução no saldo devedor, que foi de 5000 reais no primeiro mês. Assim, a taxa de juros é tal que j = 500 / 5000 = 5 / 50 = 10 / 100 = 10%.
Note ainda que, com a amortização de 5500 reais no segundo mês, o saldo devedor cairá nesta quantia, de modo que os juros do terceiro mês cairão em 5500 x 10% = 550 reais, elevando a cota de amortização nesta mesma quantia. Assim, a terceira cota de amortização é de 5500 + 550 = 6050 reais.
Portanto, somando as três cotas de amortização temos o valor total da dívida:
VP = 5000 + 5500 + 6050 = 16550 reais
No primeiro mês tivemos juros de:
J = 16550 x 10% = 1655 reais
A prestação foi de:
P = 1655 + 5000 = 6655 reais
Essa é a prestação constante (afinal estamos no sistema francês).
Resposta: E
FGV – Contador da Prefeitura de Niteroi – 2015) Um empréstimo por dois meses utilizando o regime de juros compostos de 10% ao mês equivale a um empréstimo utilizando o regime de juros simples, pelo mesmo período, de:
(A) 9,0% ao mês;
(B) 9,5% ao mês;
(C) 10,0% ao mês;
(D) 10,5% ao mês;
(E) 11,0% ao mês.
RESOLUÇÃO:
No regime composto sabemos que em 2 meses com taxa de 10%am temos o total de 21% de juros. Basta usar um exemplo simples, partindo de um capital de 100 reais:
M = 100 x (1 + 10%)^2 = 100 x 1,10^2 = 100 x 1,21 = 121 reais
Para obter esses mesmos 21% no regime simples basta usar a taxa de 21% / 2 = 10,5% ao mês.
Resposta: D
FGV – Contador da Prefeitura de Niteroi – 2015) Um indivíduo precisa pagar três parcelas para quitar a compra de um terreno. São cobrados juros compostos de 30% ao semestre. As parcelas são de R$ 120.000,00; R$ 180.000,00 e R$ 338.000,00 e vencem em seis meses, um ano e dois anos, respectivamente. Esses três pagamentos podem ser substituídos por um único pagamento, daqui a um ano, no valor, em reais, de:
(A) 458.461,54;
(B) 518.461,54;
(C) 536.000,00;
(D) 596.000,00;
(E) 638.000,00.
RESOLUÇÃO:
Para levar todos os pagamentos para t = 2 semestres (isto é, um ano), devemos adiantar o primeiro pagamento em 1 semestre, retornar o terceiro pagamento em 2 semestres, e adicionar ao segundo pagamento (que já está em t = 2 semestres). Assim:
VP (em t = 2 semestres) = 120.000×1,30 + 180.000 + 338.000 / 1,30^2
VP (em t = 2 semestres) = 12.000×13 + 180.000 + 338.000 / 1,69
VP (em t = 2 semestres) = 156.000 + 180.000 + 2×169.000 / 1,69
VP (em t = 2 semestres) = 156.000 + 180.000 + 2×100.000
VP (em t = 2 semestres) = 156.000 + 180.000 + 200.000
VP (em t = 2 semestres) = 536.000 reais
Resposta: C
FGV – Contador da Prefeitura de Niteroi – 2015) Um capital está aplicado à taxa nominal de 20% ao ano com capitalização trimestral. A taxa efetiva semestral dessa aplicação é:
(A) 10,00%;
(B) 10,25%;
(C) 11,43%;
(D) 13,78%;
(E) 15,82%.
RESOLUÇÃO:
Uma taxa nominal de 20%aa com capitalização trimestral corresponde a uma taxa efetiva de 20% / 4 = 5% ao trimestre (afinal temos quatro trimestres em um ano). Para irmos dessa taxa efetiva para outra taxa efetiva, porém semestral, basta calcular a taxa semestral equivalente a 5% ao trimestre:
(1 + j)^t = (1 + jeq)^teq
Lembrando que teq = 1 semestre corresponde a t = 2 trimestres, temos:
(1 + 5%)^2 = (1 + jeq)^1
(1,05)^2 = 1 + jeq
1,1025 = 1 + jeq
jeq = 1,1025 – 1 = 0,1025 = 10,25% ao semestre
Resposta: B
FGV – Contador da Prefeitura de Niteroi – 2015) Um indivíduo pretende comprar um imóvel financiado em 60 meses utilizando o Sistema de Amortização Constante – SAC. Ele procurou uma instituição financeira que opera com vencimento da primeira prestação um mês após a liberação dos recursos, taxa de juros de 5% ao mês, e foi informado que, pela análise dos comprovantes de rendimentos, o limite máximo da prestação teria que ser de R$ 5.000,00. O valor máximo que ele pode financiar, em reais, é:
(A) 75.000;
(B) 100.000;
(C) 185.000;
(D) 225.000;
(E) 300.000.
RESOLUÇÃO:
Para financiar o máximo possível, a nossa prestação inicial deve ser máxima, ou seja, P = 5000 reais. Sendo VP o valor a ser financiado, a amortização mensal é:
A = VP / n = VP / 60
Os juros incorridos no primeiro mês são de:
J = VP x j = VP x 5% = 0,05 VP
Portanto, a primeira prestação é tal que:
P = A + J
5000 = VP/60 + 0,05VP
Multiplicando todos os termos por 60, podemos eliminar o denominador:
60×5000 = 60xVP/60 + 60×0,05VP
300000 = VP + 3VP
300000 = 4VP
VP = 300000 / 4
VP = 75000 reais
Resposta: A
FGV – Contador da Prefeitura de Niteroi – 2015) Os juros sobre uma dívida são cobrados utilizando a convenção linear. A dívida será paga após um ano e meio, e a taxa de juros compostos anunciada pela instituição financeira é de 20% ao ano. A porcentagem de juros cobrados em relação ao principal é:
(A) 20%;
(B) 21%;
(C) 30%;
(D) 31%;
(E) 32%.
RESOLUÇÃO:
Seja C a dívida inicial. Temos um prazo de t = 1,5 ano e taxa composta de j = 20% ao ano. Na convenção linear, começamos usando a fórmula de juros compostos, considerando apenas a parte inteira do prazo (t = 1 ano):
M = C x (1 + j)^t
M = C x (1 + 20%)^1
M = 1,20C
Em seguida, aplicamos juros simples pela parte fracionária do prazo (t = 0,5 ano). Agora nosso capital inicial é 1,20C, que é o montante da primeira etapa:
M = (1,20C) x (1 + j x t)
M = (1,20C) x (1 + 20% x 0,5)
M = (1,20C) x (1 + 10%)
M = (1,20C) x 1,10
M = 1,32 C
Portanto, veja que temos um ganho de 0,32C, ou 32% do capital inicial (ou principal).
Resposta: E
FGV – Contador da Prefeitura de Niteroi – 2015) Foi realizado um investimento com um principal de R$ 10.000,00, gerando um montante de R$ 14.400,00, em dois anos. Considerando o regime de juros compostos, esse investimento rendeu no ano a taxa de:
(A) 19,5%;
(B) 20,0%;
(C) 21,5%;
(D) 22,0%;
(E) 22,5%.
RESOLUÇÃO:
Temos:
M = C x (1 + j)^t
14.400 = 10.000 x (1 + j)^2
1,44 = (1 + j)^2
1,2^2 = (1 + j)^2
1,2 = 1 + j
j = 1,2 – 1
j = 0,2
j = 20% ao ano
Resposta: B
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Abraço,
Prof. Arthur Lima
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