TCU: Resumo de Matemática Financeira para a prova

Olá, tudo bem com você? No artigo de hoje vou fazer um resumo dos principais pontos que você precisa saber de matemática financeira para a prova do TCU. Vamos lá?

Hoje vamos fazer um resumo dos principais pontos de Matemática Financeira para o concurso do Tribunal de Contas da União. O objetivo é gabaritar essa prova, ok?

Porcentagem – TCU: Resumo de Matemática Financeira para a prova

Vamos começar este Resumo com uma introdução, o conceito de porcentagem vai ser usado por você em vários outros assuntos desta disciplina.

Mas, o que é porcentagem?

Porcentagem é utilizada quando queremos demonstrar partes de algo inteiro, sendo pelo símbolo “%”. Ela envolve inúmeras situações com as quais nos deparamos no nosso dia a dia, por exemplo, quando dizemos: “a taxa de analfabetismo de adultos no Brasil é de 7%”, ou seja, a cada 100 adultos no Brasil, 7 são analfabetos.

Em Matemática Financeira, como falamos, a porcentagem é utilizada para vários cálculos, por exemplo, para saber quantos por cento de desconto uma loja oferece em determinado produto ou para saber a quantidade de juros aplicada sobre uma compra parcelada.

A porcentagem trata da divisão onde o denominador é o número 100. Isto é, 6% é o mesmo que 6 dividido por 100, ou seja, 6/100 = 0,06.

p% = p/100

Regra de Três – TCU: Resumo de Matemática Financeira para a prova

Regra de três é um método utilizado para encontrar valores desconhecidos quando trabalhamos com grandezas direta ou inversamente proporcionais.

Assim, para realizar o cálculo, é importante identificar quais grandezas se relacionam de forma direta e quais grandezas se relacionam de forma inversa.

Diretamente proporcionais: São grandezas que quando uma aumenta, a outra também aumenta na mesma proporção, do mesmo modo, quando uma diminui, a outra diminui na mesma proporção. Exemplo: Velocidade x Distância.
Inversamente proporcionais: à proporção que uma das grandezas aumenta, a outra grandeza diminui na mesma proporção.

A diferença entre elas (para efeito de Cálculo) é que quando as grandezas são INVERSAMENTE proporcionais, antes de realizar a multiplicação cruzada é necessário INVERTER uma das colunas.

Elementos Básicos da Matemática Financeira – TCU: Resumo de Matemática Financeira para a prova

Capital

O Capital é o primeiro valor investido. Trata do valor inicial da negociação, ou seja, ele é o valor de referência para calcularmos os juros com o passar do tempo. Também pode ser encontrado com outros nomes como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado.

Juros

O “Juro” é então o termo utilizado para designar o “preço do dinheiro no tempo”. Em um investimento, trata-se do valor dos rendimentos adquiridos, ou seja, é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro.

Montante

O Montante é o valor final da transação. O montante é calculado somando o capital com os juros.

M = C + J

Taxa de Juros

A taxa de juros é a porcentagem cobrada em cima do capital a cada momento.

A taxa de juros, normalmente, é expressa na forma percentual, em seguida da especificação do período a que se refere.

7 % a.a. – (a.a. significa ao ano).

9 % a.t. – (a.t. significa ao trimestre).

Juros Simples x Juros Composto – TCU: Resumo de Matemática Financeira para a prova

	Juros Simples	Juros Composto
Conceito	Os juros são calculados sobre o capital inicial.	Os juros são calculados sobre o capital inicial mais os juros acumulados.
Acréscimos	Somados ao capital inicial só ao final da aplicação.	Somados ao capital ao fim de cada período de aplicação (juros sobre juros).
Método de Crescimento	Linear	Exponencial
Utilização	É normalmente utilizado na cobrança de financiamentos, impostos atrasados, compras a prazo, etc.	É normalmente utilizado pelo sistema financeiro.
Fórmula	J = C. i. t	M = C (1+i)ᵑ
Valor do Capital Principal	Constante	Muda durante o período
Retorno	Baixo	Alto

TCU: Resumo de Matemática Financeira – Juros simples x Juros Composto

Juros Simples

Assim, no regime de juros simples o percentual de juros incide apenas sobre o valor principal. Desse modo, não serão cobrados “juros sobre juros”, ou seja, sobre o valor que vai sendo acrescido à dívida todos os meses.

A fórmula para o cálculo de juros simples é dada por:

J = C x i x n

Dos quais:

J = juros

C= Capital

i= taxa de juros

n = número de períodos.

O Montante trata do valor final da transação. É calculado pela soma do capital com os juros. Assim:

M = Capital + Juros

Montante = C + C x i x n = C x ( 1 + i x n )

M = C x (1 + i x n)

Por fim, Juros = Montante final – Capital inicial

J = M – C

Juros Compostos

No regime de juros compostos o cálculo de juros mensal é feito sobre o total da dívida no mês anterior, e não somente sobre o valor que foi inicialmente emprestado.

Capitalização é quando os juros são incorporados ao principal.

Assim, nos juros compostos, a taxa de juros incide sobre o capital inicial, acrescido dos juros acumulados até o período anterior.

Fórmula de Juros Compostos:

M = C (1 + i)^n

Desconto – TCU: Resumo de Matemática Financeira para a prova

Desconto é a contrapartida por antecipar o pagamento de um título.

O valor de um título é chamado valor nominal (N). Desconto (D) é sempre a diferença entre o valor nominal (N) e o valor atual (A):

Valor Nominal (N): é o valor do título na data do seu vencimento.

Valor Atual (A): é o valor do título na data da operação de desconto.

Desconto: é a diferença entre o valor nominal e o valor atual do título.

Tempo: prazo entre o dia da negociação do título e o dia do vencimento.

Fórmula do Desconto:

D = N – A

Preliminarmente, existem duas categorias de desconto:

Desconto Racional ou “por dentro”: Mesma ideia dos juros. A diferença é que o desconto corresponde a uma operação de descapitalização.
Desconto Comercial ou bancário ou “por fora”: É diferente do desconto racional por se tratar de uma taxa aplicada ao valor nominal do título.

Como essas duas categorias de descontos podem estar relacionados a uma taxa de juros simples ou a uma taxa de juros compostos. Logo, na verdade, temos quatro categorias de descontos:

1. Desconto racional simples;

2. Desconto comercial simples;

3. Desconto racional composto e

4. Desconto comercial composto.

Taxas – TCU: Resumo de Matemática Financeira para a prova

Taxa Nominal

A taxa nominal é quando o período de incorporação dos juros ao capital não é igual ao que a taxa se refere.

São exemplos de taxas nominais:

– 100% ao ano com capitalização mensal.

Taxa Efetiva

A taxa efetiva é quando o período de incorporação dos juros ao capital é igual ao que a taxa se refere.

São exemplos de taxas efetiva:

– 20% ao mês com capitalização mensal.

Resumindo:

Taxa de juros efetiva: é a taxa onde o período de capitalização é igual da unidade temporal da taxa;
Taxa de juros nominal: é a taxa onde o período de capitalização difere da unidade temporal da taxa.

Taxa Equivalente

Duas taxas i₁ e i₂ são equivalentes quando aplicadas ao mesmo capital durante o mesmo período, através de diferentes períodos de capitalização, produzem o mesmo montante final.

Observação n° 1: A juros simples, duas taxas equivalentes são também proporcionais; todavia, isso não ocorre quando se trata de juros compostos.

Taxa Proporcional

Duas taxas de juros são ditas proporcionais quando possuem períodos de capitalização diferentes e quando aplicadas sobre um mesmo capital inicial produzem montante final igual.

Taxa real

A taxa real de juros é a apuração de ganho ou perda em relação a uma taxa de inflação, ou de um custo de oportunidade.

Taxa aparente

A taxa aparente é a taxa obtida em uma operação financeira que não considera os efeitos da inflação.

Observação: Se a taxa de inflação for zero, a taxa aparente e a taxa real serão iguais.

Equivalência de Capitais – TCU: Resumo de Matemática Financeira para a prova

Dois, ou mais, capitais, com datas de vencimento distintas, são capitais equivalentes quando, transportados para uma mesma data, a mesma taxa, produzem, nessa data, os valores iguais.

Esta data para a qual os capitais serão transportados chama-se data focal.

Segundo Parente, no regime de juros simples, a escolha da data focal influencia a resposta do problema. Isto é, quando definida uma taxa de juro, e a forma de cálculo (seja racional ou comercial), dois capitais diferentes, em datas diferentes, podem ser equivalentes, se transportados para outra data, mesmo mantendo-se todas as outras condições.

Na data focal, os títulos devem possuir um mesmo valor, o qual será o valor presente – VP (capital), e então serão chamados capitais equivalentes.

Assim, pode-se dizer que os capitais serão equivalentes quando os seus valores presentes forem iguais.

Para vencimentos anteriores a data focal:

Juros simples: N = C x (1+i x n)

Juros Compostos: N = C x ( 1 + i)^n

Para vencimentos posteriores a data focal

Juros Simples: C = N/(1+i*n)

Juros Compostos: C = N/(1+i)^n

Observação: Quando calculamos quanto vale um valor “X”em uma época diferente, estamos transportando o dinheiro no tempo. Para isso, basta lembrar que quando um valor aumenta de uma taxa, ele fica multiplicado pelo fator (1 + i) e quando diminui de uma taxa i ele fica dividido por (1 + i).

Sistema de Amortização – TCU: Resumo de Matemática Financeira para a prova

Cada sistema de amortização trata de diferentes possibilidades para o pagamento de financiamentos ou empréstimos.

Os sistemas de amortização mais utilizados são:

Sistema de Amortização Americano (SAA).

Sistema de Amortização Constante (SAC).

Sistema de Amortização Francês (Price).

Sistema de Amortização Misto (SAM).

Observação n° 1: Em todos os sistemas, cada pagamento é a soma do valor amortizado com os juros do saldo devedor, ou seja, Prestação = amortização + juros.

P = A + J

Observação n° 2: A única parcela que faz de fato com que a dívida reduza é a parcela de amortização (A). Assim, ela é a única que diminui o saldo devedor.

Sistema de Amortização Americano

O Sistema Americano de Amortização é uma categoria de quitação de financiamento que favorece quem quer pagar o valor principal através de uma única parcela. Porém, os juros devem ser pagos periodicamente ou são capitalizados e pagos junto ao valor principal, dependendo do contrato.

Assim, o principal da dívida só é amortizado ao final do contrato. Durante o contrato, são pagos somente juros sobre o saldo devedor, que se mantém inalterado até o vencimento da dívida.

Sistema de Amortização Constante

No sistema de amortização constante (SAC) é a maneira de amortizar o empréstimo por prestações amortizadas em partes iguais do valor total do empréstimo.

Características deste Sistema:

• Forma de amortização de um empréstimo por prestações que incluem os juros, amortizando em partes iguais do total do empréstimo. O valor das prestações é decrescente, assim, os juros diminuem a cada prestação;

• O SAC é muito utilizados em financiamentos imobiliários;

• Amortiza um percentual fixo do valor principal desde o início do financiamento;

• O percentual de amortização é sempre o mesmo, o que faz com que a parcela de amortização da dívida seja maior no início do financiamento;

O saldo devedor reduz constantemente;

o valor dos juros reduz a cada mês, em razão da redução do saldo devedor;

o valor da parcela reduz a cada mês, em razão da redução dos juros.

Tabela Price ou Sistema Francês de Amortização, é um método utilizado para amortizar um empréstimo cuja principal característica é apresentar prestações iguais.

É muito utilizado na compra de eletrodomésticos, artigos de consumo, roupas, etc.

A principal característica deste sistema é manter as prestações iguais e aqui os valores das amortizações obedecem a uma progressão geométrica em função do fator de rendimento.

Características deste Sistema:

O valor da parcela é constante;
O saldo devedor diminui a cada período;
O valor dos juros diminui a cada período;
O valor da amortização aumenta a cada período;
Não é uma boa opção para quem consegue quitar a dívida de forma antecipada;
Necessita de um capital menor para iniciar o financiamento

Comparação SAC x PRICE

SAC	PRICE
Parcelas decrescentes	Parcelas iguais
Amortização constante	Amortização crescente
Primeira prestação alta	Primeira prestação baixa
Última prestação baixa	Última prestação alta
O saldo devedor diminui de forma um pouco mais acelerada.	Saldo devedor diminui mais lentamente
Montante de juros menor ao fim do prazo.	Montante de juros maior no fim do prazo
financiamento de imóveis.	financiar carros