Olá pessoal,
Hoje vamos começar resolvendo um exercício que aborda conceitos importantes de matemática financeira e, a seguir, utilizaremos esses mesmos conceitos para efetuar um cálculo muito relevante para todos: o planejamento de uma renda extra durante a sua vida como aposentado.
Trata-se de um exercício de alto nível, que exige do aluno conhecimentos de juros compostos, valor atual e valor futuro de rendas certas, conteúdo bastante cobrado em concursos fiscais e bancários, dentre outros. É natural que você tenha alguma dificuldade em entender a resolução, principalmente se não estiver bem familiarizado com os conceitos citados. Mas ainda assim convido-o a acompanhar a resolução e, principalmente, os comentários posteriores.
FGV ICMS/RJ 2007) Considerando uma taxa de juros de 0,5% ao mês, quanto, aproximadamente, uma família deve investir mensalmente, durante 18 anos, para obter a partir daí uma renda mensal de R$1.000,00, por um período de 5 anos?
(Utilize, se necessário: 1,005-60 = 0,74, 1,005-216 = 0,34 e 1,005216 = 2,94.)
(A) R$ 260,00.
(B) R$ 740,00.
(C) R$ 218,00.
(D) R$ 252,00.
(E) R$ 134,00.
RESOLUÇÃO:
A resolução baseia-se no fato de que, na data da aposentadoria, os dois fluxos seguintes devem possuir o mesmo valor:
– valor atual dos desembolsos (pagamentos dos salários de 1000 reais/mês, ao longo de 5 anos);
– valor futuro das economias (economia mensal, ao longo dos 18 anos, cujo valor é o objeto da questão);
O valor atual (VP) de uma renda mensal “P” por n períodos, à taxa de juros j, é dado pela fórmula:
VP = an¬j x P
Nesta fórmula o fator an¬j pode ser obtido através das tabelas financeiras de “fator de valor atual para uma série de pagamentos iguais”, que costumam ser disponibilizadas nas provas. Neste exercício foi preciso que o candidato soubesse a fórmula deste fator, que é:
an¬j = [(1 + j)n – 1] / [ j x (1 + j)n]
Portanto, para uma renda mensal durante n = 60 meses (5 anos) à uma taxa de juros j = 0,5% ao mês, o fator de valor atual é:
a60¬0,5% = [(1 + 0,5%)60 – 1] / [ 0,5% x (1 + 0,5%)60]
a60¬0,5% = [(1,005)60 – 1] / [ 0,005 x (1,005)60]
O enunciado afirmou que 1,005-60 = 0,74. Portanto, 1,00560 = 1,35. Assim,
a60¬0,5% = [1,35 – 1] / [ 0,005 x 1,35] = 0,35 / 0,00675 = 51,851
Logo, o valor atual da renda de 1000 reais/mês ao longo de 5 anos, à taxa de 0,5% ao mês, é:
VP = a60¬0,5% x P = 51,851 x 1000 = 51851 reais
Isto significa que no momento da “aposentadoria” (início do recebimento das prestações mensais) você precisaria ter acumulado o valor de R$51.851.
Como disse o exercício, você dispõe de n = 216 meses (18 anos) para efetuar este acúmulo, à taxa j = 0,5% ao mês. A fórmula que fornece o valor futuro (VF) de um fluxo de rendas iguais a P durante n períodos, à taxa j, é:
VF = sn¬j x P
Nesta fórmula, sn¬j é o fator de acumulação de capital de uma série de pagamentos iguais, cuja tabela também costuma ser fornecida. Novamente essa questão exigiu que o candidato soubesse a sua fórmula:
sn¬j = [(1+j)n – 1] / j
Para n = 216 meses e j = 0,5% ao mês, temos:
s216¬0,5% = [(1+0,5%)216 – 1] / 0,5%
s216¬0,5% = [(1,005)216 – 1] / 0,005
O enunciado afirmou que (1,005)216 =2,94. Portanto,
s216¬0,5% = [2,94 – 1] / 0,005 = 388
Para que ao final de n = 216 meses tenhamos acumulado o valor futuro VF = 51851 reais, à taxa j = 0,5% ao mês, a economia mensal P pode ser obtida assim:
VF = sn¬j x P
51851 = 388 x P
P = 133,64 reais –> aproximadamente 134 reais (alternativa E)
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Agora que você sabe fazer esses cálculos, vamos imaginar um caso mais próximo da realidade daqueles que buscam uma carreira pública de alto nível?
Imagine que o seu objetivo é ter um “salário extra”, quando aposentado, de R$10.000,00 por mês (além da sua aposentadoria propriamente dita!). A sua idéia é receber este “salário extra” durante 30 anos. Para implementar esse projeto, você utilizará um fundo de investimento com rendimento real j = 0,3% ao mês (inferior ao rendimento de alguns títulos da dívida pública). Considerando que você ainda vai trabalhar durante 35 anos, qual deve ser a sua economia mensal para atingir o seu objetivo? (por simplicidade, desconsidere o 13º salário)
RESOLUÇÃO:
No período de recebimento do “salário extra”, temos n = 360 meses (30 anos) e j = 0,3% ao mês. Assim, o fator de valor atual desta série de recebimentos, na data de aposentadoria, é:
a360¬0,3% = [(1 + 0,3%)360 – 1] / [ 0,3% x (1 + 0,3%)360] = 219,9517
Portanto, o valor atual desta série de recebimentos na data de aposentadoria é:
VP = a360¬0,3% x P = 219,9517 x 10000 = 2.199.517 reais
Isto é, você precisa ter acumulado cerca de 2,2 milhões de reais em seu investimento até a data da aposentadoria. Como você possui n = 420 meses (35 anos) para poupar, à taxa j = 0,3% ao mês, o fator de acumulação de capital da sua série de economias mensais é:
s420¬0,3% = [(1+0,3%)420 – 1] / 0,3% = 840
Portanto, para economizar a quantia necessária para sua aposentadoria, a economia mensal (P) deve ser de:
VF = s420¬0,3% x P
2.199.517 = 840 x P
P = 2.618,47 reais
Isto é, se você for capaz de economizar cerca de R$2.600 por mês ao longo de sua vida de trabalho, poderá desfrutar na velhice de seu salário de aposentadoria e mais um “salário extra” de R$10.000! Bem razoável, não?
E se você conseguir um rendimento real um pouco maior (digamos j = 0,5% ao mês), precisaria economizar apenas R$1.170 por mês (e se mesmo assim economizasse R$2.600, teria um “salário extra” de mais de 20 mil reais!). A título de informação, os fundos de pensão trabalham hoje com uma meta de ganho real em torno de 6% ao ano, ou cerca de 0,5% ao mês.
Saudações,
Prof. Arthur Lima
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Oi, Arthur.
Parabéns pela explicação!
Queria fazer uma observação sobre o segundo exercício que diz respeito a renda extra de R$ 10.000,00 por mês na aposentadoria daqui a 30 anos. O leitor mais leigo no assunto pode achar que esse valor está na data de hoje. Mas considerando uma inflação de 6% ao ano, R$ 10.000,00 daqui a 30 anos equivale a (10000 / 1,06 ^ 30) = R$ 1.741,10.
Ou seja, o investidor precisar depositar mensalmente R$ 2.618,47 durante 35 anos para poder retirar o equivalente a R$ 1.741,10 durante 30 anos.
Isso é um dos problemas que os economistas chamam de ilusão monetária.
Abraço!