Resolução de Exercícios FUNIVERSA – parte V

Olá Pessoal!

Estou dando continuidade à nossa série de Resolução de Exercícios da FUNIVERSA, onde deixarei aqui, semanalmente, até a publicação do Edital, a resolução de um exercício da banca do concurso para a SEFAZ DF: FUNIVERSA.

 

Questão 8: FUNIVERSA/COFECON/FISCAL DA PROFISSÃO DO ECONOMISTA/2010

 

O problema dos pontos, solucionado pelos matemáticos Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662), foi responsável pelo nascimento da Probabilidade no meio do século XVII. Uma versão dele pode ser feita considerando-se o problema de dividir as apostas de um jogo que foi interrompido. A divisão deve ser proporcional às probabilidades de vitórias de cada jogador. O jogo era disputado pelos jogadores P e Q, de modo que, em cada rodada, apenas um dos dois jogadores fazia um ponto. Sabe-se que o jogador P precisaria de mais dois pontos para vencer, e o jogador Q precisaria de mais três. Nessa situação, as probabilidades de vitórias dos jogadores P e Q, respectivamente, e a proporção de divisão das apostas (de P para Q) serão:

 

(A)      16/25, 9/25 e 16/9.

(B)      7/16, 9/16 e 7/9.

(C)      11/16, 5/16 e 11/5.

(D)      3/5, 2/5 e 3/2.

(E)      2/5, 3/5 e 2/3.

SOLUÇÃO:

Vamos supor que as probabilidades de P e Q ganharem uma rodada são iguais, ou seja, em cada rodada, ambos têm probabilidade ½ de saírem com 1 ponto.

 

Para acertarmos essa questão, teremos que fazer uma série de suposições. Explicando melhor:

 

Na primeira rodada, P ou Q podem fazer ponto.

Suponhamos que P faça. Se P fizer de novo na segunda rodada, P ganha o jogo, pois só faltavam 2 pontos para P vencer. A probabilidade disso acontecer é (1/2)(1/2) = 1/4.

Agora vamos supor que Q pontue na segunda rodada. Faltará 1 ponto para P e 2 pontos para Q ganhar o jogo. Aí, temos que fazer suposições novamente para a terceira rodada e ir calculando a probabilidade de cada hipótese acontecer…

 

Para facilitar nossa vida, proponho que façamos uma “árvore de suposições”. Assim:

 

 

 

 

1ª rodada	2ª rodada	3ª rodada	4ª rodada	Vencedor	Probabilidade
P	P	–	–	P VENCE	(1/2)(1/2)=1/4
	Q	P	–	P VENCE	(1/2)(1/2)(1/2)=1/8
		Q	P	P VENCE	(1/2)(1/2)(1/2)(1/2)=1/16
			Q	Q VENCE	(1/2)(1/2)(1/2)(1/2)=1/16
Q	P	P	–	P VENCE	(1/2)(1/2)(1/2)=1/8
		Q	P	P VENCE	(1/2)(1/2)(1/2)(1/2)=1/16
			Q	Q VENCE	(1/2)(1/2)(1/2)(1/2)=1/16
	Q	P	P	P VENCE	(1/2)(1/2)(1/2)(1/2)=1/16
			Q	Q VENCE	(1/2)(1/2)(1/2)(1/2)=1/16
		Q	–	Q VENCE	(1/2)(1/2)(1/2)=1/8

 

A probabilidade total de Q vencer é, portanto, o somatório das probabilidades de cada uma das suposições que fizemos:

 

P(Q vencer) = 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/8 = 5/16

P(P vencer) = 1 – P(Q vencer) = 1 – 5/16 = 11/16

P/Q = 11/5

 

Gabarito: Letra C

* * * * * * *

 

 

 

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Felipe Lessa