Caro aluno,
Segue abaixo a resolução das questões de Matemática Financeira da prova de Fiscal de Tributos da Prefeitura de Niterói, realizada no último domingo. A FGV elevou o nível, cobrando alguns temas menos frequentes ou com maior nível de complexidade. Nessa situação é essencial estar bem preparado, para detectar e acertar rapidamente aquelas questões mais “básicas” e então tentar brigar para garantir alguns pontinhos nas demais!
FGV – ISS/Niteroi – 2015) “Uma empresa…”
RESOLUÇÃO:
Veja que temos os investimentos iniciais de cada projeto, suas taxas internas de retorno, e também as taxas de retorno dos fluxos incrementais. Em situações como esta, devemos priorizar os investimentos com MAIOR INVESTIMENTO (pois nos permitem “ocupar” a maior parte do nosso capital). Neste caso, o maior investimento é o do projeto X (60 mil). Note que X tem taxa de retorno superior à taxa mínima de atratividade (34,9% vs. 20%). Além disso, note que tanto o fluxo incremental X-Y como X-Z possuem taxas de retorno superiores ao mínimo exigido (32% e 26% respectivamente). Assim, X é o projeto mais interessante.
Em seguida vem Z, que tem o segundo maior investimento (30 mil), possui taxa interna de retorno superior ao mínimo exigido (43,2% vs. 20%), e o fluxo incremental Z – Y também tem rentabilidade superior ao mínimo (41%).
Por fim temos Y.
Ficamos com a ordem X, Z e Y.
Resposta: B
FGV – ISS/Niteroi – 2015) “Um capital…”
RESOLUÇÃO:
Sabemos que a soma das taxas do primeiro e segundo semestres deve ser 12%. Assim, para cada alternativa de resposta podemos calcular o fator de acumulação de capital.
A) 0% ao semestre –> neste caso, a taxa do segundo semestre deve ser de 12%, para que a soma das duas taxas seja 12%. Assim, ao longo dos dois semestres temos uma rentabilidade total expressa por (1 + 0%) x (1 + 12%) – 1 = 1,00×1,12 – 1 = 0,12 = 12%
B) 1% ao semestre –> no segundo semestre a taxa será de 11%, ficando:
(1 + 1%) x (1 + 11%) – 1 = 1,01 x 1,11 – 1 = 1,1211 – 1 = 12,11%
C) 6% ao semestre –> aqui ficamos com:
(1 + 6%) x (1 + 6%) – 1 = 1,06 x 1,06 – 1 = 1,1236 – 1 = 12,36%
D) 9% ao semestre –> aqui temos:
(1 + 9%) x (1 + 3%) – 1 = 1,09 x 1,03 – 1 = 1,1227 – 1 = 12,27%
E) 12% ao semestre –> ficamos com:
(1 + 12%) x (1 + 0%) – 1 = 1,12 x 1,00 – 1 = 0,12 = 12%
Claramente a maior taxa é a da letra C, que é a melhor opção para o investidor.
Resposta: C
FGV – ISS/Niteroi – 2015) “Um empréstimo por dois anos…”
RESOLUÇÃO:
Um empréstimo de 2 anos a juros simples de 150% ao ano renderá ao todo 300%. Para obter essa mesma rentabilidade a juros compostos, a taxa anual deve ser tal que:
(1 + 300%) = (1 + jeq)^2
4 = (1 + jeq)^2
2 = 1 + jeq
1 = jeq
100% ao ano = jeq
Resposta: A
FGV – ISS/Niteroi – 2015) “Um comerciante…”
RESOLUÇÃO:
Podemos trazer os dois pagamentos futuros para a data presente usando a taxa de desconto j = 25% ao mês. Ficamos com:
VP = P/1,25 + P/1,25^2
VP = P/(5/4) + P / (5/4)^2
VP = 4P/5 + (4P/5) / (5/4)
VP = 0,8P + 0,8P / (5/4)
VP = 0,8P + 0,8P x 4/5
VP = 0,8P + 0,64P
VP = 1,44P
Repare que o preço sem desconto seria P + P = 2P. Com a taxa de desconto de 25%, o valor presente passa a ser de 1,44P. Assim, temos um desconto de 2P – 1,44P = 0,56P. Percentualmente, este desconto é de:
Percentual = 0,56P / 2P = 0,56 / 2 = 0,28 = 28%
Portanto, considerando a taxa de 25% ao mês, dar um desconto de 28% à vista é o mesmo que cobrar duas prestações sem desconto.
Resposta: D
FGV – ISS/Niteroi – 2015) “Um empréstimo de R$120.000…”
RESOLUÇÃO:
A amortização semestral é de:
A = VP / n = 120.000 / 6 = 20.000 reais por semestre
Após os 3 primeiros semestres, a dívida cai para:
Saldo devedor = 120.000 – 3 x 20.000 = 60.000 reais
Assim, os juros do quarto período são:
J = 60.000 x 5% = 60.000 x 5/100 = 600 x 5 = 3000 reais
A quarta prestação é:
P = A + J = 20.000 + 3.000 = 23.000 reais
Resposta: D
FGV – ISS/Niteroi – 2015) “Uma aplicação de …”
RESOLUÇÃO:
Veja que houve um ganho de 2.000 reais, que corresponde ao ganho percentual de 2.000 / 10.000 = 20%. Este é o ganho aparente, ou taxa aparente.
O índice de inflação aumentou 10 pontos no período (de 200 para 210), o que corresponde a um aumento percentual de 10 / 200 = 5 / 100 = 5%. Esta é a taxa de inflação.
Podemos rapidamente encontrar a taxa real:
(1 + taxa real) = (1 + taxa aparente) / (1 + inflação)
1 + taxa real = (1 + 20%) / (1 + 5%) = 1,20 / 1,05 = 120 / 105 = 24 / 21 = 8 / 7 = 1,143
taxa real = 0,143
taxa real = 14,3%
Resposta: D
FGV – ISS/Niteroi – 2015) “Um empréstimo é oferecido…”
RESOLUÇÃO:
Temos a cobrança antecipada de uma taxa de j% ao período. Isto significa que, se queremos pegar um empréstimo de valor inicial C por um período, os juros de valor J = C.j serão cobrados no momento inicial do empréstimo. Assim, eu vou sair do banco não com o valor C em mãos, mas com C – C.j, pois já pagarei os juros neste momento.
Ao final do prazo, o montante M que eu precisarei pagar será simplesmente igual ao capital C, pois os juros já foram pagos antecipadamente.
Em síntese, tenho uma operação onde o capital inicial é C – C.j, ou C.(1-j) e o montante final é C. Na fórmula de juros, para 1 período,
Montante = Capital x (1 + taxa)
C = [C.(1-j)] x (1 + taxa
1 = (1-j) x (1 + taxa)
1 / (1-j) = 1 + taxa
1/(1-j) – 1 = taxa
taxa = 1/(1-j) – (1-j)/(1-j)
taxa = (1 – 1 + j) / (1-j)
taxa = j / (1 – j)
Essa é a taxa efetivamente cobrada. Para ilustrar melhor, suponha que eu pegue 100 reais de empréstimo com taxa de j = 20% ao período. Eu deveria pagar 20 reais de juros neste caso. Como os juros são pagos antecipadamente, na verdade eu saio do banco com 100 – 20 = 80 reais inicialmente, e pago ao final os 100 reais (pois os juros já foram pagos no início). Assim, podemos calcular a taxa efetivamente praticada nesta operação:
100 = 80 x (1 + taxa)
100 / 80 – 1 = taxa
1,25 – 1 = taxa
25% = taxa
Repare que a taxa antecipada era j = 20%, mas no fim das contas a taxa efetivamente aplicada foi de 25%. Veja que elas obecem a relação que encontramos:
taxa = j / (1 – j) = 20% / (1 – 20%) = 0,20 / 0,80 = 1 / 4 = 25%
Resposta: D
FGV – ISS/Niteroi – 2015) “Para usufruir perpetuamente…”
RESOLUÇÃO:
Aqui a FGV cobrou um assunto bastante batido – as rendas perpétuas – porém com uma variação raríssima em provas de concursos públicos. Trata-se de uma perpetuidade com crescimento. Assim, sendo R a renda perpétua, j a taxa de juros e g a taxa de crescimento, o valor presente é dado por:
VP = R / (j – g)
Substituindo os valores fornecidos,
VP = 2.000 / (10% – 6%)
VP = 2.000 / 4% = 2.000 / 0,04 = 200.000 / 4 = 50.000 reais
Resposta: D
FGV – ISS/Niteroi – 2015) “Um equipamento agrícola…”
RESOLUÇÃO:
Podemos calcular o valor presente líquido da primeira opção de negócio, que é a compra da máquina. Neste caso, temos um investimento inicial de 40.400 reais, mais 5 desembolsos anuais de 2.000 reais (manutenção), e um único recebimento ao final de 5 anos, no valor de 16.100 reais, referentes ao valor residual. Trazendo esse recebimento para a data presente, temos:
VPentradas = 16.100 / (1,10)^5 = 16.100 / 1,61 = 10.000 reais
Trazendo a série de 5 pagamentos de 2.000 reais para o valor presente, devemos começar calculando o fator:
fator de valor atual = j.(1+j)^n / [(1+j)^n – 1] = 0,10.(1,10)^5 / [1,10^5 – 1]
fator de valor atual = 0,10.1,61 / [1,61 – 1] = 0,161 / 0,61 = 0,2639
Assim, o valor presente desses pagamentos é:
VP = 2.000 / 0,2639 = 7.578,62 reais
Temos ainda o desembolso de 40.400 reais na data inicial. Nosso VPL fica:
VPL = 10.000 – 7.578,62 – 40.400 = -37.978,60 reais
Este deve ser o mesmo VPL da outra opção, que é o pagamento de 5 aluguéis de valor P cada um. O valor presente desses 5 aluguéis é:
VPL = – P / 0,2639
Veja que coloquei o sinal negativo pois estamos falando de 5 desembolsos de valor P. Igualando os VPLs:
-P / 0,2639 = -37.978,60
P = 0,2639 x 37.978,60
P = 10.022,55 reais
Resposta: B
FGV – ISS/Niteroi – 2015) “Um empréstimo no valor…”
RESOLUÇÃO:
Logo após pagar a nona prestação, resta-nos uma série de pagamentos, composta por 9 pagamentos postecipados de 10.000 reais cada. Podemos calcular o saldo devedor trazendo esses 9 pagamentos faltantes para o seu valor presente na data t = 9 meses:
VP = 10.000 / fator
fator = 0,01.1,01^9 / (1,01^9 – 1)
fator = 0,01 / (1 – 1,01^-9)
fator = 0,01 / (1 – 0,91)
fator = 0,01 / 0,09 = 1/9
Logo,
VP = 10.000 / (1/9) = 90.000 reais
Você pode ter estranhado este valor, assim como eu estranhei, pois como neste momento faltam apenas 9 prestações de 10.000 reais cada, não faz sentido lógico que o saldo devedor seja exatamente 90.000 reais, pois isto só ocorreria numa situação de juros nulos (0%). Portanto, do ponto de vista lógico essa questão tem problemas, e a meu ver poderia ser anulada. O problema se deu por conta do arredondamento fornecido pela banca, que ofereceu o valor 0,91 para substituir 1,01^-9, que na realidade é 0,91434. Se usássemos este valor, obteríamos o fator 0,11674 no lugar de simplesmente 1/9, e com isso o valor presente da dívida seria VP = 10.000 / 0,11674 = 85.660,44 reais. Aqui sim teríamos algo lógico, pois teríamos uma dívida de 85660 reais a ser paga em 9 prestações restantes de 10.000 reais, que totalizam 90.000 reais, havendo claramente a incidência de juros.
Pela falta de lógica da questão, entendo que a banca devia anulá-la, pois o arredondamento fornecido prejudicou o aluno mais bem preparado, aquele que realmente entendeu o funcionamento do sistema francês. Entretanto, vale dizer que o gabarito poderia ser atingido usando-se a aproximação fornecida no enunciado, sem fazer maiores considerações.
Resposta: D
Permaneça em contato comigo através do Facebook:
www.facebook.com/ProfessorArthurLima
Os demais professores do Estratégia Concursos estão avaliando a prova e devem publicar artigos nas próximas horas!
Abraço,
Prof. Arthur Lima
Obs.: conheça meus cursos em andamento clicando AQUI.
Ver comentários
Professor, bom dia!
Na questão cuja resposta foi 28% (letra d), não houve indicação expressa do regime de capitalização. Se fosse a juros simples, a resposta seria diferente. É passível de anulação por essa razão?
Parabéns pelas aulas no Estratégia. Fui muito bem graças ao curso. Sds. Marcos.
Oi Marcos, tudo bem? Acho muito difícil alguma anulação nessa questão por esse motivo, pois em regra essas operações acontecem segundo o regime composto. Inclusive muitas vezes a FGV propositalmente omite isso.
Abraço! Muito obrigado o seu comentário!
OI, prof!
No seu título está dizendo que há recurso. MAs de que equestõa/!
Obrigada!
Oi Camilla,
É na última questão.
Abraço!
Professor, vocês vão comentar a de agente fazendario também?? Seria uma boa!!
Oi Ariel,
Sim, tão logo seja possível - provavelmente amanhã.
Abraço
Ola professor, onde consigo baixar a prova? não a localizei no site da FGV.
obrigada
Oi Thalita,
Deve ser disponibilizada amanhã no final do dia. Publiquei com base na prova de um aluno que me enviou as imagens.
Abraço
Olá Professor. Fiz 45 questões na parte específica e, infelizmente, 16 na parte geral. A questão passível de anulação eu errei. Faço o recurso?
Certamente Gustavo!
Abraço e boa sorte
Oi Professor, acha que cabe recurso na ultima questão? Olhando numa calculadora price a resposta correta é 85.660. Meu raciocínio foi que o valor deveria ser necessariamente menor que 90000 e maior que 81.990. Por isso cravei em 82.800. Digo que teria que ser maior por que trazendo 81.990 em uma única parcela a ser paga em 9 meses, chegaríamos aos 90 mil, logo a dívida teria que ser maior que isso.
Oi Fernando,
Cabe sim. Veja a minha resolução, eu comento sobre isso. O problema foi o arredondamento fornecido pela banca.
Abraço
Na questão em tela, pede-se o estado da dívida após o nono pagamento de uma série de dezoito pagamentos 10000 reais segundo o sistema price. No entanto a alternativa dada como correta 90 mil não chega não é nem a primeira nem a segunda que mais se aproxima do valor real, que depois da prova com uma tabela PRICE seria 85,66 mil.
Sabemos que após o nono pagamento teremos uma nova série de nove parcelas iguais totalizando ao todo 90 mil reais pelo sistema price. Logo de cara poderíamos eliminar as alternativas D e E pois o valor deve ser necessariamente menor que 90 mil. A questão fornece como auxílio a potência de 1,01^-9, com base nesta informação chegamos a conclusão também que caso o montante de 90 mil fosse pago em uma única parcela vencendo em nove meses o montante seria equivalente a uma dívida de 81,99 mil, trazido a valor presente. No entanto é claro que uma série de amortizações irá produzir um juro total menor então também poderíamos eliminar as alternativas A e B. Desta forma a única alternativa possível seria a C maior que o valor amortizado em parcela única na alternativa B e menor que o valor sem juros da alternativa D. Ainda como forma de estimar o valor real poderíamos fazer uma aproximação para uma série de 9 parcelas de juros simples que no caso teria como resultado a média alternativas B e D ou seja 85,995 mil. Como os juros compostos são maiores que os juros simples poderíamos ainda inferir que a resposta estaria entre o montante da alternativa B e o da aproximação de 85,995 mil. De fato a alternativa que mais se aproximaria do valor real seria então C seguida pela B jamais a D, que foi juntamente com E descartada logo de primeira.
Fernando, o seu raciocínio faz todo sentido, e é por isso que eu sugeri a anulação dessa questão. Embora seja possível chegar ao gabarito fornecido usando o arredondamento (veja que a banca "mandou" usar o arredondamento, o verbo "utilize" está no imperativo), ele não é um resultado lógico, e prejudica justamente o aluno com maior senso crítico, e que realmente entendeu a lógica de funcionamento do sistema price, como é o seu caso.
Abraço
Já escrevi o recurso, mas de fato utilizei o arredondamento. Utilizei para chegar ao piso da minha estimativa e eliminar as alternativas A e B, espero que no mínimo anulem a questão.
Olá professor,
na questão "um empréstimo de 120.000,00" a informação de que o pagamento só seria feito a partir de 180 dias da liberação do recurso é irrelevante? Porque vi que em nada afetou o cálculo.
Obrigada
Oi Julia,
Essa informação apenas nos diz que o primeiro pagamento será feito após 6 meses (180 dias), ou seja, apenas nos diz que os pagamentos são postecipados. Esta é a regra geral, portanto não há efeito sobre os cálculos. Se fosse dito que o primeiro pagamento é no ato da contratação, aí sim teríamos uma diferença.
Abraço
Professor, não entendi esse cálculo do fator. Da primeira linha para a segunda. O que foi feito ali? Obrigada.
Oi Shanti, creio que você esteja falando do fator de valor atual para uma série uniforme de pagamentos. Estudamos isso nas aulas sobre séries uniformes e também na tabela price. Sugiro revê-las para relembrar esse conteúdo.
Abraço
Boa tarde, Professor Arthur Lima.
A questão abaixo,
“Um equipamento agrícola…”
Na hora do cáculo do VPL não seria somado 10000 + 7578,62, pois a fórmula do VPL = VP - Investimento, pois os valores do VP1(10000) e VP2(7578,62).
VPL = 10.000 – 7.578,62 – 40.400 = -37.978,60 reais???
Fiquei com dúvida em relação a essa questão.
Oi Walace,
o valor 7578,62 corresponde ao valor presente dos pagamentos que são efetuados a título de manutenção do equipamento. Portanto, são saídas de recursos, e não entradas. Eles compõem o valor presente das saídas. Lembrando que:
VPL = Valor presente das entradas - Valor presente das saídas
Abraço
No final não anularam a questão. Só me dei mal com essa de recurso, anularam 3, 3 que já tinha acertado. Mais uma questão tinha ficado entre os 27 :(. Achei que a 21 tava mal formulada, pois perguntava pelos "projetos ordenados do melhor para o pior, pelo método da Taxa Interna de Retorno – TIR". Devia ter ignorado isso e prestado atenção no "3 projetos mutuamente excludentes"