Matemática ENEM – gabarito extraoficial e prova resolvida

Fala pessoal, tudo bem? Eu e o prof. Hugo Lima esperamos que vocês tenham feito uma excelente prova de Matemática no ENEM 2017. Neste artigo vou postar a resolução das questões, ok? Vou deixar o início do enunciado de cada questão para facilitar a sua identificação.

Já vou deixar o gabarito de todas as questões e, na sequência, vou publicando as resoluções!

 

ENEM – 2017) Uma empresa construirá sua página…

RESOLUÇÃO:

O número de senhas deve ser maior que 1.000.000 e menor ou igual a 2.000.000. Vamos calcular a quantidade de senhas para cada Opção:

I. 26 x 10⁶ = 2.600.000

II. 10⁶ = 1.000.000

III. 26² x 10⁴ = 6.520.000

IV. 10⁵ = 100.000

V. 26³ x 10² = 1.695.200

Veja que a Opção V é a única dentro do intervalo que buscamos.

Resposta: E (V)

 

ENEM – 2017) Como não são adeptos da prática…

RESOLUÇÃO:

Temos um caso de combinação de 8 jogadores, 2 a 2:

C(8, 2) = 8 x 7 / 2 x 1 = 56/2 = 28

Resposta: E (28)

 

ENEM – 2017) Um morador de uma região…

RESOLUÇÃO:

Se a probabilidade de chover é 0,3, a de não chover é 0,7.

A probabilidade de ele atrasar se chover é dada por 0,5 x 0,3 = 0,15.

Já a probabilidade de ele atrasar sem chover é dada por 0,25 x 0,7 = 0,175.

Assim, a probabilidade dele atrasar é 0,15 + 0,175 = 0,325.

Resposta: C (0,325)

 

ENEM – 2017) Às 17 h 15 min começa uma forte chuva,

RESOLUÇÃO:

Veja que o volume da chuva é tal que, em 45 minutos de chuva (das 17:15 às 18), foi possível encher o equivalente à altura de 20cm. Nos próximos 40 minutos de chuva (até as 18:40), o volume de água adicional que entrou na caixa foi equivalente a altura H:

45 minutos ———- 20cm

40 minutos ———– H

 

45H = 40×20

H = 800/45 cm (aproximadamente 18cm).

 

Entretanto, a altura da água Às 18 h 40 min era de 15cm. Ou seja, em 40 minutos, o volume de água que saiu corresponde a 5cm que estavam às 18h e mais os 800/45 cm que entraram entre 18 e 18:40, totalizando:

5 + 800/45 = 225/45 + 800/45 = 1025/45 cm

 

Podemos dizer que o registro permite o escoamento de 1025/45 cm de água em 40 minutos. Para escoar os 15cm restantes, o tempo necessário é:

1025/45 cm —————— 40 minutos

15 cm ————————— T minutos

 

1025/45 x T = 15 x 40

T = 15 x 40 x 45 / 1025

T = 26,34 minutos

 

Portanto, a partir de 18:40h, precisamos de pouco mais de 26 minutos para escoar toda a água. Isto significa que a piscina estará vazia pouco após as 19:06 minutos.

Resposta: D (19 h e 19 h 10 min)

 

ENEM – 2017) Os congestionamentos de trânsito…

RESOLUÇÃO:

 Veículo imóvel significa que sua velocidade é constante e igual a zero. Veja que o único período em que o veículo tem velocidade igual a zero ocorre entre 6 e 8 minutos, ou seja, ao longo de 2 minutos o veículo permaneceu imóvel.

Resposta: C (2) 

 

ENEM – 2017) Um garçom precisa escolher…

RESOLUÇÃO:

 Temos uma fileira de 4 taças. A largura da bandeja corresponde ao diâmetro da base de uma taça, ou seja, a largura é de 8 cm. Já o comprimento da bandeja corresponde a 4 diâmetros da borda superior da taça, ou seja, 4 x 10 = 40 cm.

Assim, a área mínima, em centímetro quadrado, é igual a 8 x 40 = 320 cm².

Resposta: D (320) 

 

ENEM – 2017) Em uma cantina, o sucesso de venda…

RESOLUÇÃO:

Para o preço do suco não aumentar, significa que o custo dos insumos daquele suco não aumentou.  Seja X o preço de cada polpa de morango. Assim, temos:

Custo inicial = Custo Final

(2/3) . 18 + (1/3) . 14,7 = (2/3) X + (1/3) . 15,3

36 + 14,7 = 2X + 15,3

2X = 35,4

X = 17,7 reais

 

Assim, a redução no preço da polpa de morando foi de 18 – 17,7 = 0,30 reais.

Resposta: E (0,30) 

 

ENEM – 2017) Um casal realiza sua mudança de domicílio…

RESOLUÇÃO:

Veja que o objeto cúbico de aresta igual a 80 cm não cabe na caixa 2, visto que uma das dimensões daquela é inferior a 80 cm. Portanto, vamos excluir a caixa 2 e calcular o volume das outras caixas:

Caixa 1 =  86 x 86 x 86 = 636.056 cm³

Caixa 3 = 85 x 82 x 90 = 627.300 cm³

Caixa 4 = 82 x 95 x 82 = 638.780 cm³

Caixa 5 = 80 x 95 x 85 =  646.000 cm³

Veja que a caixa com menor volume é a Caixa 3.

Resposta: C (3) 

 

ENEM – 2017) A imagem apresentada na figura…

RESOLUÇÃO:

Para recolocar a tela na posição original, basta girá-la, no sentido horário, por 45 + 90 = 135 graus.

Resposta: B (135º no sentido horário) 

 

ENEM – 2017) A avaliação de rendimento de alunos…

RESOLUÇÃO:

Para fazer a média ponderada, basta multiplicar cada nota pelo respectivo número de créditos, somar todos os resultados e dividir pelo total de créditos. Vamos chamar de X a nota na disciplina I. Veja que o aluno tem que atingir, no mínimo, a nota 7, para ter o conceito Bom. Assim:

Média ponderada = 7 = (7,5 x 10 + 5 x 8 + 6 x 8 + 8 x 4 + 12X)/42

75 + 40 + 48 + 32 + 12X = 294

195 + 12X = 294

12X = 99

X = 8,25

Resposta: D (8,25) 

 

ENEM – 2017) Um brinquedo infantil caminhão-cegonha…

RESOLUÇÃO:

Primeiramente podemos colocar um carrinho de cada uma das quatro cores no caminhão-cegonha. Faltam ainda 6 carrinhos, que podem ser pintados de qualquer uma das quatro cores. Podemos representar os carrinhos assim:

X X | X | X | X X

Nesta representação, cada x representa um carrinho, e as barras verticais separam os carrinhos pintados em amarelo (À esquerda da primeira barra), branco (entre a primeira e a segunda barras), laranja (entre a segunda e a terceira barras) e verde (à direita da quarta barra). Na representação acima, temos 2 amarelos, 1 branco, 1 laranja e 2 verdes. Podemos permutar estes 9 elementos, com repetição de 6 X e 3 barras, para saber todas as possibilidades. Temos:

P(9; 6 e 3) = 9! / (6! x 3!) = 9x8x7x6! / (6! x 3!) = 9x8x7 / 6 = 84

Veja que esta também é a combinação de 9 elementos em grupos de 3, isto é, C(9,3) = 84.

Resposta: B (C(9,3)) 

 

ENEM – 2017) Uma empresa especializada em conservação…

RESOLUÇÃO:

EM BREVE

Resposta: B (27,00) 

 

ENEM – 2017) Um instituto de pesquisas…

RESOLUÇÃO:

EM BREVE

Resposta: D (P4) 

ENEM – 2017) Em um teleférico…

RESOLUÇÃO:

EM BREVE

Resposta: B (10) 

ENEM – 2017) Num dia de tempestade…

RESOLUÇÃO:

EM BREVE

Resposta: A (18) 

ENEM – 2017) Uma rede hoteleira…

RESOLUÇÃO:

EM BREVE

Resposta: E (prisma triangular reto) 

ENEM – 2017) A figura ilustra uma partida de Campo Minado…

RESOLUÇÃO:

Veja que a probabilidade de Q ter uma mina é de 1 em 8, afinal somente 1 das 8 casas ao redor do número um é que tem mina. Esta é a menor probabilidade quando comparamos com P, S e T.

Para comparar com R, precisamos lembrar que temos um total de 16×16 = 256 casas no jogo, das quais 4 abertas não tem minas. Portanto, temos 252 casas fechadas, das quais 40 tem minhas. A probabilidade de uma casa qualquer (como R) ter mina é de 40/252, número maior que 1/8.

Logo, a escolha mais segura é Q.

Resposta: B (Q)

 

ENEM – 2017) Um empréstimo foi feito…

RESOLUÇÃO:

No momento em que paga a sexta parcela (de valor P), o valor vai adiantar em um mês o pagamento da sétima e adiantar em dois meses o pagamento da oitava parcela, fazendo um pagamento total de:

P + P/(1+i%)¹ + P/(1+i%)² =

P x [1+ 1/(1+i%)¹ + 1/(1+i%)²]

Resposta: A (P x [1+ 1/(1+i%)¹ + 1/(1+i%)²])

ENEM – 2017) Para realizar a viagem…

RESOLUÇÃO:

EM BREVE

Resposta: D (16) 

ENEM – 2017) Raios de luz solar…

RESOLUÇÃO:

EM BREVE

Resposta: B (50%) 

ENEM – 2017) O fisiologista inglês…

RESOLUÇÃO:

EM BREVE

Resposta: E (ramo de hipérbole) 

ENEM – 2017) Em um parque há dois mirantes…

RESOLUÇÃO:

EM BREVE

Resposta: C (4,35) 

ENEM – 2017) A mensagem digitada…

RESOLUÇÃO:

EM BREVE

Resposta: B (1/4) 

ENEM – 2017) A água para …

RESOLUÇÃO:

EM BREVE

Resposta: D

ENEM – 2017) A manchete demonstra…

RESOLUÇÃO:

EM BREVE

Resposta: D (4,02) 

ENEM – 2017) Um menino acaba…

RESOLUÇÃO:

EM BREVE

Resposta: A (1) 

ENEM – 2017) Três alunos, X, Y…

RESOLUÇÃO:

EM BREVE

Resposta: B (apenas o aluno Z) 

ENEM – 2017) Uma bicicleta do tipo…

RESOLUÇÃO:

EM BREVE

Resposta: D (IV) 

ENEM – 2017) O comitê organizador…

RESOLUÇÃO:

EM BREVE

Resposta: E (972) 

ENEM – 2017) Viveiros de lagostas…

RESOLUÇÃO:

EM BREVE

Resposta: D (25 e 25) 

ENEM – 2017) Neste modelo de termômetro…

RESOLUÇÃO:

EM BREVE

Resposta: E (19º C) 

 

ENEM – 2017) Pivô central é um sistema…

RESOLUÇÃO:

EM BREVE

Resposta: A (12, 24 e 36) 

 

ENEM – 2017) Dois reservatórios A e  B…

RESOLUÇÃO:

Observe que temos 2 escalas no gráfico, uma para o reservatório A (esquerda) e uma para o reservatório B (direita). Portanto, nos pontos do gráfico em que as duas curvas coincidem, elas estão, na verdade, retratando volumes diferentes. Entretanto, observe que entre a 8ª e a 9ª horas nós temos o reservatório A com 30.000 litros, e o reservatório B com este mesmo volume. Esta é a única hora em que os volumes coincidem.

Resposta: A (1) 

 

ENEM – 2017) Uma desenhista projetista…

RESOLUÇÃO:

Veja que temos um triângulo isósceles formado pelas duas hastes do compasso e o segmento BC, que é a base do triângulo. A medida de BC pode ser obtida por meio da lei dos cossenos:

BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cos(120º)

BC² = 10² + 10² – 2.10.10.cos(120º)

BC² = 100 + 100 – 200.(-1/2)

BC² = 100 + 100 + 100

BC² = 300

BC = 10 x 3^1/2 = 10 x 1,7 = 17cm

Como esta medida está entre 15 e 21 cm, devemos usar o material IV.

Resposta: D (IV) 

ENEM – 2017) Uma pessoa ganhou…

RESOLUÇÃO:

Queremos a medida mais próxima de 4mm. Veja que o valor 4,025mm é apenas 0,025mm diferente da pérola original. Esta é a menor diferença.

Note que a pérola de 3,97mm tem uma diferença de 0,030mm, superior àquela obtida anteriormente. Por isto o gabarito é 4,025mm.

Resposta: C (4,025) 

ENEM – 2017) Em uma de suas viagens…

RESOLUÇÃO:

Se a escala é de 1:400, cada medida de comprimento do monumento original é 400 vezes maior do que na lembrança. Já o volume será multiplicado por 400 ao cubo, isto é,

Volume real = 400 x 400 x 400 x 25 cm³

Volume real = 1.600.000.000 cm³

Volume real = 1.600.000 dm³

Volume real = 1.600 m³

Resposta: C (1600) 

 

ENEM – 2017) A igreja de São Francisco…

RESOLUÇÃO:

Imagine um plano cartesiano onde a origem seja o canto esquerdo da Igreja. Assim, temos uma parábola que passa pelos pontos:

x = 0 e y = 0

x = 10 e y = 0

x = 9 e y = 3

 

Usando a forma padrão y = a.x² + b.x + c, temos:

0 = a.0² + b.0 + c

0 = c

 

Ficamos com y = a.x² + b.x. Substituindo os demais pontos:

0 = a.10² + b.10

0 = 10a  + b

b = -10a

 

3 = a.9² + b.9

3 = a.81 + b.9

1 = a.27 + b.3

1 = a.27 + (-10a).3

1 = 27a – 30a

1 = -3a

a = -1/3

b = -10.(-1/3) = 10/3

 

Temos a parábola:

y = -x²/3 + 10x/3

 

A abscissa do seu vértice é:

x_v = -b/2a= (-10/3)/(-2/3) = 5

 

A altura máxima é:

y = -5²/3 + 10.5/3 = -25/3 + 50/3 = 25/3

Resposta:  D (25/3)

 

ENEM – 2017) Quanto tempo você…

RESOLUÇÃO:

A taxa de aumento é dada pela diferença entre os valores de sábado e sexta, dividida pelo valor de sexta-feira. Isto é:

X = (21 – 12)/12 = 9/12 = 3/4 = 75%

Y = (51 – 30)/30 = 21/30 = 7/10 = 70%

Z = (11 – 10)/10 = 1/10 = 10%

W = (57 – 38)/38 = 19/38 = 1/2 = 50%

U = (56 – 40)/40 = 16/440 = 4/10 = 40%

 

A maior taxa é a de X.

Resposta: A (X) 

 

ENEM – 2017) O resultado de uma pesquisa eleitoral…

RESOLUÇÃO:

A razão no primeiro gráfico é de 3 para 7, ou seja, 3/7. No segundo gráfico temos uma razão de 1 para 5, ou seja, 1/5. A diferença é de:

3/7 – 1/5 = 15/35 – 7/35 = 8/35

Resposta: E (8/35)

ENEM – 2017) Um cientista, em seus estudos…

RESOLUÇÃO:

Veja que a amplitude do ciclo é de 120 – 78 = 42 unidades. Em uma função do tipo P(t) = A + B.cos(kt), sabemos que “cos(kt)” pode assumir valores entre -1 e 1, ou seja, tem uma amplitude igual a 2. Para chegarmos a uma amplitude de 42, precisamos que B seja igual a 21.

O valor de A é igual à pressão intermediária entre a máxima e a mínima, ou seja, (120 + 78)/2 = 99. Isto porque em t = 0, esta deve ser a pressão, e para t = 0 sabemos que cos(k.0) = cos(0) = 0.

Como temos 90 batimentos em um minuto (60 segundos), o período de cada batimento é 60/90 = 6/9 = 2/3. Portanto, quando t vai de t = 0 a t = 2/3 de segundo, devemos passar por um ciclo completo. Isto é, t = 0 devemos estar na pressão intermediária P = (120 + 78)/2 = 99, e em t = 2/3 devemos estar nesta mesma pressão. Portanto,

cos(k.2/3) = 0

k.2/3 = 2pi

k = 3pi

Ficamos com:

P = 99 + 21.(3pi.t)

Resposta: A (P = 99 + 21.(3pi.t))

ENEM – 2017) Para decorar uma mesa…

RESOLUÇÃO:

Como queremos preservar o máximo possível do melão, vamos eliminar uma calota de raio exatamente igual a 3cm. Ou seja, r = 3cm. Como o diâmetro do melão é igual a 10, podemos dizer que OB mede 5cm, ou seja, metade do diâmetro.

Assim, o segmento OA mede 4cm, afinal OAB é um triângulo retângulo do tipo 3-4-5.

Como OA mede 4cm, devemos cortar o melão em uma altura h = 1cm (afinal h + OA correspondem a 5cm, que é o raio do melão).

Resposta: C (1)

ENEM – 2017) Para uma temporada das corridas de Fórmula 1, …

RESOLUÇÃO:

Temos 100kg de gasolina no início. Na parada, havia sido consumido 4/10 disto, sobrando no tanque 6/10 do total, ou seja, (6/10)x100 = 60kg. Passando isso para litros:

0,75kg —————- 1 litro

60kg ———— L

0,75 x L = 60

L = 60 /0, 75

A terça parte deste restante é:

Terça parte = (1/3) x (60 /0,75) =  20/0,75

Esta foi a quantidade reabastecida.

Resposta: B (20/0,75)

ENEM – 2017) O gráfico apresenta a taxa de desemprego…

RESOLUÇÃO:

Colocando os valores em ordem crescente, temos:

6,8 – 7,5 – 7,6 – 7,6 – 7,7 – 7,9 – 7,9 – 8,1 – 8,2 – 8,5 – 8,5 – 8,6 – 8,9 – 9,0

Temos um total de n = 14 dados, de modo que a posição da mediana é:

Posição da mediana = (n+1)/2 = (14+1)/2 = 7,5

Isto significa que a mediana será a média aritmética entre o 7º e o 8º termos em ordem crescente:

Mediana = (7,9 + 8,1)/2 = 8,0

Resposta: B (8,0%)

ENEM – 2017) Numa avenida existem 10 semáforos…

RESOLUÇÃO:

Vamos começar calculando a probabilidade de o primeiro semáforo observado ser verde (2/3) e os nove seguintes serem vermelhos (1/3 cada), o que nos dá a probabilidade:

P = (2/3) x (1/3)⁹

Podemos agora fazer a permutação destes 10 resultados, com 9 repetições de semáforos vermelhos, o que nos dá:

P(10; 9) = 10! / 9! = 10

Multiplicando a probabilidade encontrada no caso anterior por 10 (afinal temos 10 possibilidades de ter um sinal verde e os demais vermelhos), ficamos com:

Probabilidade = 10 x (2/3) x (1/3)⁹

Probabilidade = 10 x (2⁹ / 3¹⁰)

Resposta: B (10 x (2⁹ / 3¹⁰))

ENEM – 2017) A energia solar vai abastecer…

RESOLUÇÃO:

Inicialmente temos 200m² de painéis para produção de energia elétrica e outros 200 para energia térmica. A energia total economizada é de

Economia = 200 x 1kWh + 200 x 0,7 kWh = 200 + 140 = 340 kWh

Queremos economizar o dobro disso, ou seja, 680 kWh. Com a ampliação em 75% da área produtora de energia elétrica, teremos 200 x (1+75%) = 200 x 1,75 = 350m²   de área produtora de energia elétrica. Esta área vai produzir energia que economiza 350 x 1 kWh = 350 kWh. Falta ainda economizarmos 680 – 350 = 330 kWh.

Como cada metro quadrado de área produtora de energia térmica economiza 0,7 kWh, para economizar 330 kWh precisamos de uma área total de: 330 / 0,7 = 471,5m² .

Resposta:  C (472)