Gabarito + Prova Comentada de RLQ e Matemática Financeira – SEFAZ/GO

Olá, pessoal!!!

Tudo bem?

Espero que tenham feito uma excelente prova. Segue aqui a resolução das provas de Matemática financeira e Raciocínio Lógico Quantitativo.

9. (FCC 2018/SEFAZ-GO) O segundo termo da sequência aritmética (a_n), de razão 9, é igual ao oitavo termo da sequência geométrica (b_n), de razão -1/2. Além disso, os quintos termos das duas sequências são iguais.

Nessas condições, o valor da soma infinita S, dada por:

S = b₁ + b₂ + b₃ + … + b_n + …,

é igual a:

a) 192

b) 188

c) 288

d) 256

e) 216

Resolução

O segundo termo da P.A. é igual ao oitavo termo da P.G.

a₂ = b₈

a₁ + r = b₁ * q^7

a₁ + 9 = b₁ * (-1/2)^7

a₁ + 9 = – b₁/128

128 a₁ + 1.152 = – b₁

b₁ = -128 a₁ – 1.152 (equação I)

Os quintos termos da P.A. e da P.G. são iguais.

a₅ = b₅

a₁ + 4r = b₁ * q^4

a₁ + 36 = b₁ * (-1/2)^4

a₁ + 36 = b₁/16

b₁ = 16a₁ + 576 (equação II)

Igualando as expressões encontradas para b₁, temos:

16a₁ + 576 = -128 a₁ – 1.152

16a₁ + 128a₁ = -576 – 1.152

144a₁ = -1.728

a₁ = -12

Portanto,

b₁ = 16a₁ + 576

b₁ = 16*(-12) + 576 = 384

Agora é só aplicar a fórmula da soma de uma P.G. infinita.

S = b₁/(1-q) = 384/(1-(-1/2)) = 384/(3/2) = 384 * (2/3) = 256

Gabarito: D

10. (FCC 2018/SEFAZ-GO) Os matemáticos definem diferentes tipos de médias entre dois números positivos e, para cada aplicação, escolhem qual o tipo mais adequado a ser utilizado. A média harmônica H entre os números positivos a e b, por exemplo, é definida como o inverso da média aritmética dos inversos desses números, ou seja,

H = 1/((1/a +1/b)/2)

A média aritmética dos números 5 e 20 supera a média harmônica desses mesmos números em

a) 4,75 unidades.

b) 5 unidades.

c) 4 unidades.

d) 4,25 unidades.

e) 4,5 unidades.

Resolução

A média aritmética é (5+20)/2 = 12,5.

Vamos agora calcular a média harmônica.

i) A soma dos inversos: 1/5 + 1/20 = (4+1)/20 = 5/20 = 1/4

ii) A média aritmética dos inversos: (1/4)/2 = 1/8

iii) A média harmônica, que é o inverso da média aritmética dos inversos: 1/(1/8) = 8.

Portanto, a média aritmética supera a média harmônica em 12,5 – 8 = 4,5 unidades.

Gabarito: E

11. (FCC 2018/SEFAZ-GO) Há dois anos, Marcelo recebeu R$ 100.000,00 como resultado do fechamento de um negócio e decidiu investir esse dinheiro no mercado financeiro. Após conversar com um consultor, ele aplicou parte do valor em um fundo de ações A e, o restante, em um investimento estruturado B. Marcelo acaba de resgatar o valor completo das duas aplicações, totalizando R$ 137.800,00. De acordo com o relatório elaborado pelo consultor, no período de 2 anos, o fundo A rendeu o equivalente a 0,8% ao mês, enquanto que o investimento B rendeu o equivalente a 2,2% ao mês, com ambos os rendimentos calculados no regime de juros compostos. O valor, em reais, aplicado por Marcelo, há dois anos, no fundo de ações A foi de:

Dados: (1,008)^12 = 1,1

(1,022)^12 = 1,3

a) 60.000,00.

b) 65.000,00

c) 45.000,00

d) 50.000,00

e) 55.000,00

Resolução

Vamos considerar que Marcelo aplicou x reais no fundo A e (100.000 – x) reais no fundo B.

O montante acumulado pelo fundo A foi:

x * 1,008^24 = x * (1,008^12)^2 = x * 1,1^2 = 1,21x.

O montante acumulado pelo fundo B foi:

(100.000 – x)*1,022^24 = (100.000 – x)*(1,022^12)^2 = (100.000 – x)*1,3^2 = (100.000 – x)*1,69.

A soma dos dois montantes é igual a 137.800 reais.

1,21x + (100.000 – x)*1,69 = 137.800

1,21x + 169.000 – 1,69x = 137.800

-0,48x = -31.200

x = 65.000

Gabarito: B

12. (FCC 2018/SEFAZ-GO) Em um campeonato de futebol, as equipes recebem 3 pontos a cada vitória, 1 ponto por empate e não recebem ponto quando são derrotadas. Faltando somente a última rodada para ser disputada, apenas a equipe X, com 74 pontos, e a equipe Y, com 73 pontos, ainda têm chance de vencer o campeonato. O campeão será aquele que somar mais pontos ao final da última rodada, sendo que, em caso de empate, os critérios estabelecidos no regulamento indicam que a equipe Y será a campeã. Considerando os adversários de cada equipe na última rodada, analistas esportivos estimaram, para as equipes X e Y, as seguintes probabilidades para os jogos que decidirão o torneio.

Equipe	Adversário na última rodada	Probabilidade de vitória	Probabilidade de empate	Probabilidade de derrota
X	P	50%	30%	20%
Y	Q	80%	10%	10%

Admitindo que os resultados dos jogos das equipes X e Y na última rodada sejam independentes, a probabilidade de que a equipe X seja campeã, de acordo com a estimativa dos analistas é igual a:

a) 60%

b) 63%

c) 50%

d) 55%

e) 58%

Resolução

Queremos calcular a probabilidade de a equipe X ser campeã.

i) Se X perder a rodada contra P, Y deverá perder também para que X seja campeã.

A probabilidade de X perder e Y perder é igual a 0,20 * 0,10 = 0,02.

Devemos multiplicar as probabilidades porque os eventos são independentes.

ii) Se X empatar, Y pode empatar também ou perder para que X seja campeã.

A probabilidade de X empatar e Y empatar ou X empatar e Y perder é igual a 0,30*0,10 + 0,30*0,10 = 0,06

iii) Se X vencer, Y pode vencer, empatar ou perder para que X seja campeã.

A probabilidade de X vencer é 50% = 0,50.

A probabilidade total de X ser campeã é igual a 0,02 + 0,06 + 0,50 = 0,58 = 58%.

Gabarito: E

13. (FCC 2018/SEFAZ-GO) Um dos diretores de uma pequena indústria têxtil fez a seguinte afirmação durante uma reunião da diretoria: Se todas as matérias-primas forem entregues no prazo e nenhuma máquina de tingimento sofrer avaria, então o setor de produção conseguirá atingir a meta de setembro. Ao final do mês, porém, constatou-se que a meta de setembro não foi atingida pelo setor de produção. Considerando que a análise do diretor estava certa, é correto concluir que, necessariamente:

a) nenhuma matéria prima foi entregue no prazo e pelo menos uma máquina de tingimento sofreu avaria.

b) algumas matérias-primas foram entregues fora prazo, mas nenhuma máquina de tingimento sofreu avaria.

c) pelo menos uma matéria-prima não foi entregue no prazo ou uma máquina de tingimento sofreu avaria.

d) nem todas as matérias-primas foram entregues no prazo e pelo menos uma máquina de tingimento sofreu avaria.

e) as matérias-primas não foram entregues no prazo ou todas as máquinas de tingimento sofreram avaria.

Resolução

A primeira premissa é uma proposição condicional:

i) Se todas as matérias-primas forem entregues no prazo e nenhuma máquina de tingimento sofrer avaria, então o setor de produção conseguirá atingir a meta de setembro.

A segunda premissa é uma proposição simples.

ii) A meta de setembro não foi atingida pelo setor de produção.

Devemos assumir que as duas premissas são verdadeiras. Sabemos que a meta de setembro não foi atingida. Desta forma, o consequente da primeira premissa é falso.

Sendo falso o consequente, o antecedente da primeira premissa obrigatoriamente será falso, pois não podemos admitir a ocorrência de VF em uma proposição condicional (lembre-se que estamos assumindo que as premissas são verdadeiras).

Desta forma, é falso o antecedente da primeira premissa:

“Todas as matérias-primas forem entregues no prazo e nenhuma máquina de tingimento sofrer avaria” = FALSO

Se esta proposição é falsa, será verdadeira a sua negação. Vamos, portanto, negar esta proposição composta pelo conectivo “e”. Para tanto, devemos negar seus dois componentes e trocar o conectivo por “ou”.

Afirmação	Todas as matérias-primas forem entregues no prazo	e	nenhuma máquina de tingimento sofreu avaria
Negação	Alguma matéria-prima não foi entregue no prazo	ou	alguma máquina de tingimento sofreu avaria.

Observe que “Todas as matérias-primas forem entregues no prazo” é uma proposição universal afirmativa. A sua negação será uma particular negativa. Por isso nós utilizamos um quantificador particular (algum, existe, pelo menos um…) e modificamos o verbo.

Observe ainda que “nenhuma máquina de tingimento sofreu avaria” é uma proposição universal negativa. A sua negação deverá ser uma particular afirmativa. Por isso, devemos utilizar um quantificador particular (algum, existe, pelo menos um…) e deixar o verbo afirmativo.

Gabarito: C

14. (FCC 2018/SEFAZ-GO) O preço à vista de um apartamento é R$ 210.000,00. Jorge fez uma proposta ao proprietário para adquirir esse imóvel pagando-o em três parcelas iguais, a primeira à vista, a segunda após 1 ano e a terceira depois de 2 anos. O proprietário aceitou a proposta, desde que fossem cobrados juros compostos de 100% ao ano sobre o saldo devedor após o pagamento de cada parcela. Nas condições impostas pelo proprietário, o valor de cada uma das três parcelas a serem pagas por Jorge, em reais, deverá ser igual a

a) 70.000,00.

b) 130.000,00.

c) 120.000,00.

d) 90.000,00.

e) 100.000,00.

Resolução

Para calcular o valor presente de cada parcela, devemos dividir o valor da prestação por (1+i)^n. Observe que i = 100% a.a. = 1 a.a..

Seja x o valor de cada prestação.

A primeira prestação já está na data 0.

O valor presente da segunda prestação é x/(1+1)^1 = x/2.

O valor presente da terceira prestação é x/(1+1)^2 = x/4.

Assim, somando os valores presentes das três prestações obteremos 210.000 reais.

x + x/2 + x/4 = 210.000

x + 0,5x + 0,25x = 210.000

1,75x = 210.000

x = 210.000/1,75 = 120.000 reais

Gabarito: C

Ficamos por aqui. Um forte abraço e até a próxima.

Guilherme Neves

Instagram: @profguilhermeneves.