Combinações Completas

Fala, pessoal!!

Tudo bem?

Antes de começarmos o artigo de hoje, deixo o convite para vocês seguirem o meu perfil no instagram @profguilhermeneves.

Sabemos que os concursos estão cada vez mais concorridos e que os alunos estão cada vez mais preparados. Consequentemente, as provas dos principais concursos estão cada vez mais difíceis.

Um dos assuntos mais temidos pelos alunos é Análise Combinatória e, de vez em quando, as bancas colocam umas questões bem espinhosas.

Como o nosso objetivo é preparar os nossos alunos em nível de excelência, não escondemos questões nem assuntos difíceis. Não ficamos fazendo ié-ié-ié para que vocês fiquem felizes ACHANDO que aprenderam. Se tem algo difícil que aparece em prova, nós vamos te ensinar! :)

Já escrevi três artigos sobre assuntos avançados de Análise Combinatória que caíram recentemente em concursos: Permutações Caóticas, Partições Ordenadas e Lemas de Kaplansky.

Hoje vamos aprender sobre Combinações Completas, que também é um assunto avançado de Análise Combinatória e que foi recentemente cobrado no último concurso da SEFAZ-RS (CESPE).

Combinações Completas

Para introduzir este assunto, vou resolver uma questão antiga, mas bem interessante.

(Petrobras 2008-2/CESGRANRIO) Em um supermercado são vendidas 5 marcas diferentes de refrigerante. Uma pessoa que deseje comprar 3 latas de refrigerante, sem que haja preferência por uma determinada marca, pode escolhê-las de N formas. O valor de N é

(A) 3
(B) 10
(C) 15
(D) 35
(E) 125

Resolução

Esta é uma questão “clássica” que aparece nos bons livros de Análise Combinatória. Por outro lado, se o estudante nunca viu uma questão parecida como esta, é muito difícil ter este raciocínio SOZINHO na hora da prova.

Imagine que temos um armário para armazenar os refrigerantes.

Temos 5 marcas diferentes de refrigerante. Para separar as 5 marcas diferentes de refrigerante neste armário, precisamos de 4 divisórias.

O número de divisórias é sempre 1 a menos que o total de marcas.

Vamos considerar algumas marcas conhecidas de refrigerante. Coca-Cola, Guaraná Antarctica, Fanta, Tuchaua (homenageando os alunos Amazonenses), Sprite.

Temos agora 3 latinhas de refrigerante para distribuir nestas divisórias.

Há várias disposições possíveis. Vejamos algumas:

Resumindo: estamos permutando 7 objetos, a saber: as 4 divisórias móveis e as 3 latinhas.

Vamos apagar agora os nomes das marcas.

O número total de possibilidades que há para o cliente comprar 3 refrigerantes dentre 5 marcas disponíveis sem preferência em relação a alguma marca é igual ao número permutações de 7 objetos dos quais 4 são iguais (as divisórias) e 3 são iguais (as bolinhas).

Gabarito: D

O problema acima é normalmente classificado como um problema de combinação completa (ou combinação com repetição).

Os problemas de combinação completa no fundo podem ser resolvidos por permutação com repetição. Basta utilizar o raciocínio descrito acima.

Por que é um problema de combinação? Porque a ordem dos refrigerantes não importa. Tanto faz, por exemplo, comprar 2 Guaranás e 1 Fanta ou 1 Fanta e 2 Guaranás.

Por que “com repetição”? Porque podemos ter objetos repetidos. Por exemplo, podemos comprar 3 Sprites.

Observe que temos 5 qualidades para os objetos (5 marcas de refrigerante) e queremos escolher 3 objetos (3 latas). A ordem dos objetos não é relevante (portanto, é um problema de combinação) e podemos repetir os objetos (com repetição).

Observe ainda que, no raciocínio desenvolvido acima, o total de divisórias é igual a 5 – 1 = 4 (com 4 divisórias temos 5 lugares no armário).

De uma maneira geral, digamos que há n qualidades de objetos e queremos selecionar p objetos.

Adotando o raciocínio acima, teremos (n – 1) prateleiras e p objetos. Assim, permutaremos (p+n-1) entes dos quais há repetição de (n – 1) prateleiras e p objetos.

A notação (símbolo) para a combinação completa é a que segue:

Para você não precisar decorar mais uma fórmula, é importante saber a relação entre a combinação completa e a combinação simples.

Em suma, você pode trocar a fórmula de uma combinação completa por uma combinação simples. Para tanto, basta substituir n por n+p-1.

No nosso problema anterior, há 5 marcas de refrigerante. Isso é o que temos disponível. Portanto, n = 5. Queremos escolher 3 latas de refrigerante. Portanto, p = 3.

Vamos trocar a combinação completa por uma combinação simples. Para tanto, vamos substituir n = 5 por n + p – 1 = 5 + 3 – 1 = 7.

Agora é só calcular a combinação simples. Esse cálculo é feito da seguinte maneira: teremos uma fração. Colocaremos o fatorial do menor dos números no denominador. No caso, o fatorial de 3 (no denominador.

E o numerador? Devemos expandir o número 7 na mesma quantidade de fatores do denominador (3 fatores).

Mesmo valor que havíamos encontrado anteriormente com o raciocínio das divisórias no armário.

Vamos fazer mais um exemplo parecido para treinar a fórmula?

Exemplo: De quantos modos podemos comprar 5 refrigerantes em uma loja onde há 3 tipos de refrigerante?

Resolução

Este exemplo é muito parecido com o anterior. Entretanto, no problema anterior, havia 5 tipos de refrigerante e queríamos comprar 3 latas.

Agora são 3 tipos de refrigerante e queremos comprar 5.

Como são 3 tipos de refrigerante, precisamos de 2 divisórias para separar as marcas.

Assim, iremos permutar ao todo 5 + 2 = 7 objetos com repetição de 5 e de 2.

Vamos resolver o mesmo problema com a dica da combinação completa. São 3 tipos de refrigerante. Portanto, n = 3. Queremos selecionar 5 objetos. Portanto, p = 5.

Podemos trocar essa combinação completa por uma combinação simples. Para tanto, basta trocar n = 3 por n + p – 1 = 3 + 5 – 1 = 7.

Agora lembre-se de uma importante propriedade das combinações simples (para ganhar tempo). Como 5 é “grande”, podemos trocá-lo pela diferença 7 – 5 = 2.

(CESPE 2018/SEFAZ-RS)

Se 7 kg de feijão forem distribuídos para até quatro famílias, de modo que cada uma delas receba um número inteiro de quilos, então, nesse caso, a quantidade de maneiras distintas de se distribuírem esses 7 kg de feijão para essas famílias será igual a

a) 30.
b) 120.
c) 330.
d) 820.
e) 1.320.

Resolução

Para facilitar o raciocínio, imagine que há 7 sacos com 1kg de feijão cada.

Há 4 famílias disponíveis e devemos escolher o destino de cada um dos 7 sacos de feijão.

É importante notar que a ordem das famílias escolhidas não importa. Além disso, cada família pode ser escolhida mais de uma vez. Exemplo:

AAABBCC = ABCABCA

Nas duas situações acima, a família A receberá 3kg de feijão, a família B receberá 2kg de feijão e a família C receberá 2 kg de feijão (a família D receberá 0kg).

Juntando as peças: há 4 famílias disponíveis e devemos escolher qual família receberá cada um dos 7 sacos de feijão (deveremos fazer 7 escolhas). Além disso, a ordem das famílias não importa (logo, devemos usar combinações) e cada família pode ser escolhida mais de uma vez (logo, devemos usar combinação com repetição).

Assim, o total de maneiras de se distribuírem os 7kg de feijão é:

Lembre-se que C(10,7) = C(10,3). Logo, a resposta é

A situação descrita no enunciado pode ser perfeitamente modelada pelo exemplo da prateleira que utilizei na teoria sobre combinações completas.

Imagine que temos 7 sacos de 1 kg de feijão. Queremos distribuí-los para ATÉ 4 famílias. Isso quer dizer que alguma família pode ficar sem feijão.

O que vamos fazer? Vamos construir uma prateleira com divisórias móveis. Nessa prateleira, teremos 3 divisórias, pois queremos distribuir os sacos de feijão entre 4 famílias.

Vou representar cada saco de feijão por uma bolinha. Observe.

Percebeu o porquê de serem 3 divisórias? Com 3 divisórias, a prateleira fica dividida em 4 regiões.

Vamos agora colocar 7 bolinhas, que correspondem aos sacos de feijão.

Na configuração acima, a primeira família recebeu 2kg de feijão, a segunda família recebeu 1 kg de feijão, a terceira família recebeu 4kg de feijão e a quarta família ficou sem feijão.

Para distribuir os sacos de feijão, eu posso movimentar tanto os sacos de feijão (as bolinhas) quanto as divisórias (os traços). Vou movimentar duas bolinhas, por exemplo.

Veja que eu vou movimentar agora a segunda divisória para a direita.

Assim, podemos reorganizar a distribuição dos sacos movimentando os traços ou as bolinhas.

Portanto, o total de maneiras de distribuir os 7 kg de feijão em até 4 famílias é o total de permutação de 10 objetos (7 bolinhas e 3 traços), sendo que temos repetição de 7 bolas e 3 traços.

Poderíamos, entretanto, interpretar o problema sob outra ótica.

Soluções Inteiras de Equações

Sejam a, b, c, d as quantidades em quilogramas de feijão recebidas por cada uma das famílias. Sabemos que esses números são inteiros (de acordo com o enunciado).

Além disso, esses números não podem ser negativos (mas podem ser zero).

Finalmente, sabemos que a quantidade total de quilogramas de feijão é 7. Logo,

a + b + c + d = 7

O enunciado pode então ser reescrito da seguinte forma: quantas são as soluções inteiras não-negativas da equação a + b + c + d = 7 ?

Havíamos visto que a resposta desse problema é

Assim, podemos interpretar de duas maneiras:

• É a quantidade de maneiras de selecionar p objetos, distintos ou não, entre n objetos dados (a ordem dos objetos não é relevante).

• É o número de soluções inteiras não-negativas da equação

Como a equação a + b + c + d = 7 possui 4 incógnitas, então n = 4. Logo, o número de soluções inteiras não negativas dessa equação é

Lembre-se que C(10,7) = C(10,3). Logo, a resposta é

Vamos agora aprofundar um pouco mais no tema sobre quantidade de soluções inteiras de uma equação.

(CESPE 2011/SEDUC-AM)

A equação  possui mais de 200 soluções inteiras e não negativas.

Resolução

Há 3 incógnitas; logo, n = 3. A soma das incógnitas é 18. Logo, p = 18.O número de soluções inteiras não-negativas da equação é

Gabarito: Errado.

Exemplo: Quantas são as soluções inteiras positivas de x + y + z = 10 ?

Cuidado com a pegadinha!

Nos problemas anteriores, poderíamos assumir valor 0 para alguma das incógnitas. Nessa questão, queremos que todos as incógnitas sejam positivas!

Existe uma maneira de transformar esse problema no anterior: basta fazer uma mudança de incógnita.

Façamos

Dessa maneira, se a = 0, temos que x = 1. Assim, se a, b ou c forem iguais a zero, x, y ou z serão iguais a 1. A equação fica:

Resumindo: a quantidade de soluções inteiras positivas de x + y + z = 10 equivale à quantidade de soluções inteiras não-negativas de a + b + c = 7.

A resposta é

(EXATUS 2014/CEB – Companhia Energética de Brasília)

Carlos deve guardar uma dúzia de figurinhas iguais em meia dezena de estojos. Considerando que os estojos sejam todos diferentes, e que nenhum estojo fique vazio, o número de maneiras que Carlos dispõe para guardar essas figurinhas é igual a:

a) 330.
b) 792.
c) 1.820.
d) 95.040

Resolução

Essa questão é muito parecida com as dos sacos de feijão: temos 12 figurinhas (uma dúzia) para distribuir em 5 estojos (meia dezena). No problema dos sacos de feijão, tínhamos 7 sacos de feijão para distribuir entre 4 famílias.

A diferença é que, no problema dos sacos de feijão, nem todas as famílias eram obrigadas a receber algum saco de feijão, ou seja, poderia alguma família ficar sem comida. Por isso, naquele problema, calculamos o número de soluções não-negativas, pois as incógnitas poderiam ser nulas.

Agora nenhum estojo ficará vazio.

Sejam a, b, c, d, e as quantidades de figurinhas que cada estojo receberá. Como São 12 figurinhas, então:

a + b + c + d + e = 12

Como nenhum estojo ficará vazio, então queremos saber a quantidade de soluções positivas da equação acima.

Vamos mudar as incógnitas conforme o raciocínio que aprendemos no exemplo anterior.

Logo, podemos reescrever a equação:

Perceba que essas novas incógnitas podem ser nulas. Ora, basta perceber que se v = 0, teremos a = 1.

Como essas novas incógnitas podem ser nulas, queremos calcular a quantidade de soluções não-negativas dessa equação. Como são 5 incógnitas, temos n = 5. A resposta é:

Gabarito: A

Vou alterar um pouquinho o problema anterior para deixá-lo um pouco mais espinhoso.

(EXATUS 2014/CEB – Companhia Energética de Brasília – Adaptado)

Carlos deve guardar duas dúzias de figurinhas iguais em meia dezena de estojos. Considerando que os estojos sejam todos diferentes, e que cada estojo tenha pelo menos três figurinhas, o número de maneiras que Carlos dispõe para guardar essas figurinhas é igual a:

a) 700.
b) 715.
c) 1430.
d) 2860.

Resolução

Sejam a, b, c, d, e as quantidades de figurinhas que cada estojo receberá. Como são 24 figurinhas, então:

a + b + c + d + e = 24

Agora temos a restrição de que cada incógnita tem que ser no mínimo igual a 3, ou seja:

Utilizando o mesmo raciocínio, vamos utilizar a seguinte mudança de incógnita:

A nossa equação fica:

Como essas incógnitas podem ser nulas, então queremos calcular a quantidade de soluções não-negativas dessa equação. Como são 5 incógnitas, então n = 5. A resposta é

Gabarito: B

Espero que tenham gostado.

Um forte abraço,

Guilherme Neves