Caro aluno,
Segue abaixo a resolução das questões de Matemática Financeira da prova de Fiscal de Tributos da Prefeitura de Niterói, realizada no último domingo. A FGV elevou o nível, cobrando alguns temas menos frequentes ou com maior nível de complexidade. Nessa situação é essencial estar bem preparado, para detectar e acertar rapidamente aquelas questões mais “básicas” e então tentar brigar para garantir alguns pontinhos nas demais!
FGV – ISS/Niteroi – 2015) “Uma empresa…”
RESOLUÇÃO:
Veja que temos os investimentos iniciais de cada projeto, suas taxas internas de retorno, e também as taxas de retorno dos fluxos incrementais. Em situações como esta, devemos priorizar os investimentos com MAIOR INVESTIMENTO (pois nos permitem “ocupar” a maior parte do nosso capital). Neste caso, o maior investimento é o do projeto X (60 mil). Note que X tem taxa de retorno superior à taxa mínima de atratividade (34,9% vs. 20%). Além disso, note que tanto o fluxo incremental X-Y como X-Z possuem taxas de retorno superiores ao mínimo exigido (32% e 26% respectivamente). Assim, X é o projeto mais interessante.
Em seguida vem Z, que tem o segundo maior investimento (30 mil), possui taxa interna de retorno superior ao mínimo exigido (43,2% vs. 20%), e o fluxo incremental Z – Y também tem rentabilidade superior ao mínimo (41%).
Por fim temos Y.
Ficamos com a ordem X, Z e Y.
Resposta: B
FGV – ISS/Niteroi – 2015) “Um capital…”
RESOLUÇÃO:
Sabemos que a soma das taxas do primeiro e segundo semestres deve ser 12%. Assim, para cada alternativa de resposta podemos calcular o fator de acumulação de capital.
A) 0% ao semestre –> neste caso, a taxa do segundo semestre deve ser de 12%, para que a soma das duas taxas seja 12%. Assim, ao longo dos dois semestres temos uma rentabilidade total expressa por (1 + 0%) x (1 + 12%) – 1 = 1,00×1,12 – 1 = 0,12 = 12%
B) 1% ao semestre –> no segundo semestre a taxa será de 11%, ficando:
(1 + 1%) x (1 + 11%) – 1 = 1,01 x 1,11 – 1 = 1,1211 – 1 = 12,11%
C) 6% ao semestre –> aqui ficamos com:
(1 + 6%) x (1 + 6%) – 1 = 1,06 x 1,06 – 1 = 1,1236 – 1 = 12,36%
D) 9% ao semestre –> aqui temos:
(1 + 9%) x (1 + 3%) – 1 = 1,09 x 1,03 – 1 = 1,1227 – 1 = 12,27%
E) 12% ao semestre –> ficamos com:
(1 + 12%) x (1 + 0%) – 1 = 1,12 x 1,00 – 1 = 0,12 = 12%
Claramente a maior taxa é a da letra C, que é a melhor opção para o investidor.
Resposta: C
FGV – ISS/Niteroi – 2015) “Um empréstimo por dois anos…”
RESOLUÇÃO:
Um empréstimo de 2 anos a juros simples de 150% ao ano renderá ao todo 300%. Para obter essa mesma rentabilidade a juros compostos, a taxa anual deve ser tal que:
(1 + 300%) = (1 + jeq)^2
4 = (1 + jeq)^2
2 = 1 + jeq
1 = jeq
100% ao ano = jeq
Resposta: A
FGV – ISS/Niteroi – 2015) “Um comerciante…”
RESOLUÇÃO:
Podemos trazer os dois pagamentos futuros para a data presente usando a taxa de desconto j = 25% ao mês. Ficamos com:
VP = P/1,25 + P/1,25^2
VP = P/(5/4) + P / (5/4)^2
VP = 4P/5 + (4P/5) / (5/4)
VP = 0,8P + 0,8P / (5/4)
VP = 0,8P + 0,8P x 4/5
VP = 0,8P + 0,64P
VP = 1,44P
Repare que o preço sem desconto seria P + P = 2P. Com a taxa de desconto de 25%, o valor presente passa a ser de 1,44P. Assim, temos um desconto de 2P – 1,44P = 0,56P. Percentualmente, este desconto é de:
Percentual = 0,56P / 2P = 0,56 / 2 = 0,28 = 28%
Portanto, considerando a taxa de 25% ao mês, dar um desconto de 28% à vista é o mesmo que cobrar duas prestações sem desconto.
Resposta: D
FGV – ISS/Niteroi – 2015) “Um empréstimo de R$120.000…”
RESOLUÇÃO:
A amortização semestral é de:
A = VP / n = 120.000 / 6 = 20.000 reais por semestre
Após os 3 primeiros semestres, a dívida cai para:
Saldo devedor = 120.000 – 3 x 20.000 = 60.000 reais
Assim, os juros do quarto período são:
J = 60.000 x 5% = 60.000 x 5/100 = 600 x 5 = 3000 reais
A quarta prestação é:
P = A + J = 20.000 + 3.000 = 23.000 reais
Resposta: D
FGV – ISS/Niteroi – 2015) “Uma aplicação de …”
RESOLUÇÃO:
Veja que houve um ganho de 2.000 reais, que corresponde ao ganho percentual de 2.000 / 10.000 = 20%. Este é o ganho aparente, ou taxa aparente.
O índice de inflação aumentou 10 pontos no período (de 200 para 210), o que corresponde a um aumento percentual de 10 / 200 = 5 / 100 = 5%. Esta é a taxa de inflação.
Podemos rapidamente encontrar a taxa real:
(1 + taxa real) = (1 + taxa aparente) / (1 + inflação)
1 + taxa real = (1 + 20%) / (1 + 5%) = 1,20 / 1,05 = 120 / 105 = 24 / 21 = 8 / 7 = 1,143
taxa real = 0,143
taxa real = 14,3%
Resposta: D
FGV – ISS/Niteroi – 2015) “Um empréstimo é oferecido…”
RESOLUÇÃO:
Temos a cobrança antecipada de uma taxa de j% ao período. Isto significa que, se queremos pegar um empréstimo de valor inicial C por um período, os juros de valor J = C.j serão cobrados no momento inicial do empréstimo. Assim, eu vou sair do banco não com o valor C em mãos, mas com C – C.j, pois já pagarei os juros neste momento.
Ao final do prazo, o montante M que eu precisarei pagar será simplesmente igual ao capital C, pois os juros já foram pagos antecipadamente.
Em síntese, tenho uma operação onde o capital inicial é C – C.j, ou C.(1-j) e o montante final é C. Na fórmula de juros, para 1 período,
Montante = Capital x (1 + taxa)
C = [C.(1-j)] x (1 + taxa
1 = (1-j) x (1 + taxa)
1 / (1-j) = 1 + taxa
1/(1-j) – 1 = taxa
taxa = 1/(1-j) – (1-j)/(1-j)
taxa = (1 – 1 + j) / (1-j)
taxa = j / (1 – j)
Essa é a taxa efetivamente cobrada. Para ilustrar melhor, suponha que eu pegue 100 reais de empréstimo com taxa de j = 20% ao período. Eu deveria pagar 20 reais de juros neste caso. Como os juros são pagos antecipadamente, na verdade eu saio do banco com 100 – 20 = 80 reais inicialmente, e pago ao final os 100 reais (pois os juros já foram pagos no início). Assim, podemos calcular a taxa efetivamente praticada nesta operação:
100 = 80 x (1 + taxa)
100 / 80 – 1 = taxa
1,25 – 1 = taxa
25% = taxa
Repare que a taxa antecipada era j = 20%, mas no fim das contas a taxa efetivamente aplicada foi de 25%. Veja que elas obecem a relação que encontramos:
taxa = j / (1 – j) = 20% / (1 – 20%) = 0,20 / 0,80 = 1 / 4 = 25%
Resposta: D
FGV – ISS/Niteroi – 2015) “Para usufruir perpetuamente…”
RESOLUÇÃO:
Aqui a FGV cobrou um assunto bastante batido – as rendas perpétuas – porém com uma variação raríssima em provas de concursos públicos. Trata-se de uma perpetuidade com crescimento. Assim, sendo R a renda perpétua, j a taxa de juros e g a taxa de crescimento, o valor presente é dado por:
VP = R / (j – g)
Substituindo os valores fornecidos,
VP = 2.000 / (10% – 6%)
VP = 2.000 / 4% = 2.000 / 0,04 = 200.000 / 4 = 50.000 reais
Resposta: D
FGV – ISS/Niteroi – 2015) “Um equipamento agrícola…”
RESOLUÇÃO:
Podemos calcular o valor presente líquido da primeira opção de negócio, que é a compra da máquina. Neste caso, temos um investimento inicial de 40.400 reais, mais 5 desembolsos anuais de 2.000 reais (manutenção), e um único recebimento ao final de 5 anos, no valor de 16.100 reais, referentes ao valor residual. Trazendo esse recebimento para a data presente, temos:
VPentradas = 16.100 / (1,10)^5 = 16.100 / 1,61 = 10.000 reais
Trazendo a série de 5 pagamentos de 2.000 reais para o valor presente, devemos começar calculando o fator:
fator de valor atual = j.(1+j)^n / [(1+j)^n – 1] = 0,10.(1,10)^5 / [1,10^5 – 1]
fator de valor atual = 0,10.1,61 / [1,61 – 1] = 0,161 / 0,61 = 0,2639
Assim, o valor presente desses pagamentos é:
VP = 2.000 / 0,2639 = 7.578,62 reais
Temos ainda o desembolso de 40.400 reais na data inicial. Nosso VPL fica:
VPL = 10.000 – 7.578,62 – 40.400 = -37.978,60 reais
Este deve ser o mesmo VPL da outra opção, que é o pagamento de 5 aluguéis de valor P cada um. O valor presente desses 5 aluguéis é:
VPL = – P / 0,2639
Veja que coloquei o sinal negativo pois estamos falando de 5 desembolsos de valor P. Igualando os VPLs:
-P / 0,2639 = -37.978,60
P = 0,2639 x 37.978,60
P = 10.022,55 reais
Resposta: B
FGV – ISS/Niteroi – 2015) “Um empréstimo no valor…”
RESOLUÇÃO:
Logo após pagar a nona prestação, resta-nos uma série de pagamentos, composta por 9 pagamentos postecipados de 10.000 reais cada. Podemos calcular o saldo devedor trazendo esses 9 pagamentos faltantes para o seu valor presente na data t = 9 meses:
VP = 10.000 / fator
fator = 0,01.1,01^9 / (1,01^9 – 1)
fator = 0,01 / (1 – 1,01^-9)
fator = 0,01 / (1 – 0,91)
fator = 0,01 / 0,09 = 1/9
Logo,
VP = 10.000 / (1/9) = 90.000 reais
Você pode ter estranhado este valor, assim como eu estranhei, pois como neste momento faltam apenas 9 prestações de 10.000 reais cada, não faz sentido lógico que o saldo devedor seja exatamente 90.000 reais, pois isto só ocorreria numa situação de juros nulos (0%). Portanto, do ponto de vista lógico essa questão tem problemas, e a meu ver poderia ser anulada. O problema se deu por conta do arredondamento fornecido pela banca, que ofereceu o valor 0,91 para substituir 1,01^-9, que na realidade é 0,91434. Se usássemos este valor, obteríamos o fator 0,11674 no lugar de simplesmente 1/9, e com isso o valor presente da dívida seria VP = 10.000 / 0,11674 = 85.660,44 reais. Aqui sim teríamos algo lógico, pois teríamos uma dívida de 85660 reais a ser paga em 9 prestações restantes de 10.000 reais, que totalizam 90.000 reais, havendo claramente a incidência de juros.
Pela falta de lógica da questão, entendo que a banca devia anulá-la, pois o arredondamento fornecido prejudicou o aluno mais bem preparado, aquele que realmente entendeu o funcionamento do sistema francês. Entretanto, vale dizer que o gabarito poderia ser atingido usando-se a aproximação fornecida no enunciado, sem fazer maiores considerações.
Resposta: D
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Abraço,
Prof. Arthur Lima
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